La energía de la estimación de la ecuación diferencial $\dot{x}=Ax$

Question

Conside la ecuación diferencial $$\dot{x}=Ax,\qquad x(t):{\bf R}\to{\mathcal H}$$ where $\mathcal{H}$ is a Hilbert space and $$ is a bounded linear operator. With the initial condition, one can have $x(t)=e^{A}x_0$ (Is this legal in the infinite dimension case?). With the spectral method(under the assumption that $x_0$ is an eigenvector of $$), uno tiene la estimación $$\|x(t)\|\leq e^{\omega t}\|x_0\|.$$

Aquí está mi pregunta:

• Con algo de asunción, se puede estimar el $\|x(t)\|$ sin usar el método espectral, dicen, simplemente tomando el producto interior?

Creo que los siguientes sub-preguntas pueden ser de utilidad:

• ¿Qué es $\frac{d}{dt}\langle x(t),x(t)\rangle$?

• En el caso de dimensión finita, esto se puede hacer con el producto de la regla. ¿Qué acerca de la dimensión infinita caso?

Answer 1

Sí, si $A$ es un delimitada lineal operador $e^{At}$ está bastante bien. Puede ser definida por la serie de Taylor, por ejemplo, y [EDITAR: para $t \ge 0$ ] tenemos $$\|e^{At}\| \le e^{\|A\| t}.$$ Si $x_0$ es un autovector de a $A$ con autovalor $\lambda$,$x(t) = e^{\lambda t} x_0$.

Como para el sub-pregunta, todavía es cierto que $$\frac{d}{dt} \langle x(t),\, x(t) \rangle = \langle x'(t), x(t) \rangle + \langle x(t), x'(t) \rangle = 2 \Re \langle x(t), A x(t) \rangle.$$ De la prueba mediante la diferencia de los cocientes es básicamente el mismo que en una sola variable de cálculo.