Doy esto como una respuesta separada ya que he hecho demasiados comentarios en la respuesta existente. Esto resume lo que saco de la discusión con Henning.
Pregunta original: "¿Existe un subconjunto incontable bien ordenado de los números reales?"
Pregunta aclarada: "¿Existe un subconjunto bien ordenado e incontable de los números reales (utilizando la ordenación habitual de los reales)?".
Interpretación 1 de la lengua original: La pregunta se refiere a la existencia de un ordenamiento, por lo que parece que podemos elegir tanto un ordenamiento como un subconjunto. Pues bien, el axioma de elección implica que existe un ordenamiento para el que los propios reales están bien ordenados. Entonces, podemos simplemente tomar un subconjunto de reales siendo el propio conjunto completo. Hecho. Esta pregunta es un poco estúpida. La única estructura de los reales que se utiliza aquí es que el conjunto de los reales es incontable. Podríamos repetir la misma pregunta con cualquier conjunto incontable de objetos.
Interpretación 2 de la lengua original: Supongamos que nos vemos obligados a utilizar la ordenación original de los reales. Así que sólo se nos permite elegir un subconjunto. La estructura del problema ahora es tal que el problema es interesante. Debemos utilizar tanto la propiedad de que los reales son incontables junto con propiedades existentes de la ordenación habitual en los reales. Esta es probablemente la interpretación correcta porque es la única en la que el problema es interesante.
Observación: En un examen, no hay tiempo para resolver el problema de dos maneras y luego tratar de interpretar el problema de forma interesante. Naturalmente, asumiría la "interpretación 1" y entonces estaría bastante confundido por qué el examen hace una pregunta tan extraña.
Suelo considerar que los conjuntos existen independientemente de los conceptos temporales (es decir, "fuera del tiempo"). El lenguaje en tiempo pasado utilizado por Henning en los comentarios anteriores es útil y es coherente con su interpretación del problema (que es la interpretación 2). La interpretación 2 es probablemente la que pretendía la persona que diseñó la pregunta. Sin embargo, no es la única interpretación. De hecho, la interpretación 2 ni siquiera se me ocurrió hasta el comentario-debate con Henning. Habría sacado mal esta pregunta en el examen, no porque sea una pregunta difícil, sino porque interpreté la pregunta de forma diferente.
Por lo tanto, habría sido mejor que la pregunta original enfatizara que debemos utilizar el ordenamiento habitual de los reales, de modo que sólo se nos permite elegir un subconjunto. Casi siempre se utiliza la ordenación habitual de los reales, pero se pueden considerar diferentes ordenaciones cuando surgen preguntas de teoría de conjuntos sobre "ordenaciones buenas".
