Una cadena de conjuntos medibles tiene la unión medibles

Question

Considere la posibilidad de un espacio medible $(\Omega, \mathcal{F})$ y deje $I$ ser arbitraria conjunto de índices.

Es el verdadero?

Si $\left( A_i \right)_{i \in I}$ es una cadena en la $\mathcal{F}$ – que es, $\forall i \in I$, $A_i \in \mathcal{F}$ y para todos los $i, j \in I$, $A_i \subseteq A_j$ o $A_j \subseteq A_i$ – a continuación, $$\displaystyle \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathcal{F}.$$

Answer 1

Esto no es cierto en general (suponiendo que el axioma de elección).

Deje $\kappa$ ser el menos cardenal de un no-medibles conjunto de reales; deje $f$ mapa de $\kappa$ 1-1 en un no-medibles conjunto.

A continuación, $\{f\!"\!\alpha \mid \alpha\lt\kappa\}$ (donde $f\!"\!\alpha$ denota el rango de $f$ $\alpha)$ es una cadena de conjuntos medibles cuya unión no es mensurable.

Para ver que el axioma de elección debe ser utilizado de alguna manera, al menos para el caso de la medida de Lebesgue en los reales, se nota que es consistente con ZF que cada conjunto de los reales es Lebesgue medible.

Answer 2

No. Considerar la medida de Lebesgue en la recta real. Deje $\kappa$ ser la cardinalidad mínima de un no-medibles conjunto, y deje $A$ ser un no-medibles conjunto de cardinalidad $\kappa.$ $A$ es la unión de una cadena de conjuntos de cardinalidad menor que $\kappa,$ que son de curso de conjuntos medibles.

Answer 3

Dentro de los conocidos axiomas de la teoría de conjuntos que no puede desmentir que $2^{\aleph_0} = \aleph_1.$ Recordar que $\aleph_1$ se define como la cardinalidad del conjunto de todos los contables de los números ordinales y las $2^{\aleph_0}$ es la cardinalidad de a $[0,1]$.

Deje $A$ ser cualquiera que no se pueden medir subconjunto de $[0,1]$. Supongamos $|[0,1]| = 2^{\aleph_0} = \aleph_1$. Desde $A$ debe ser innumerables y ya no cardinalidad se encuentra entre el $\aleph_0$ $\aleph_1$ (eso es demostrable dentro convencional de la teoría de conjuntos), tenemos $|A|=\aleph_1$, por lo que $$ A = \{ a_i : i \text{ es una contables ordinal} \}, $$ para algunos de indexación $i\mapsto a_i$. A continuación, vamos a $$ A_i = \{ a_j : j \le i\}. $$ A continuación, para cada una de las $i$, la $A_i$ es contable, por lo tanto medible, pero $$ \bigcup_i A_i = Un $$ no es mensurable.

Ya que no se puede refutar eso $2^{\aleph_0} = \aleph_1,$ usted no puede demostrar que su propuesta de la unión deben ser medibles.