¿Qué significa exactamente para una función escalar a ser invariante de Lorentz?

Question

Si tengo una función $\ f(x)$, ¿qué significa para ti ser invariante de Lorentz? Creo que es ese $\ f( \Lambda^{-1}x ) = f(x)$, pero creo que me estoy perdiendo algo aquí.

Además, si $g(x,y)$ es invariante Lorentz, ¿ esto significa que $g(\Lambda^{-1}x,\Lambda^{-1}y)=g(x,y)$?

$\ $

EDIT: me permite explicar el origen de mi confusión....He estado mirando recursos en línea, donde dice que la definición debería ser $\phi^{\prime}(x^{\prime})=\phi(x)$. Pero $\phi^{\prime}(x)=\phi(\Lambda^{-1}x)$ bajo una transformación de Lorentz $x^{\prime}=\Lambda x$. Así que luego me sale:

$\phi^{\prime}(x^{\prime})=\phi(\Lambda^{-1}x^{\prime})=\phi(\Lambda^{-1}\Lambda x)=\phi(x)$

Esto parece completamente trivial, y no se ve como una condición que tendría que comprobar en un caso-por-caso básico.

Answer 1

Puede parecer trivial, pero que es lo que es.

Un escalar de Lorentz es un elemento de la 0-dimensional espacio vectorial considerado como una representación de espacio de la trivial $(0,0)$ representación del grupo de Lorentz. En otras palabras, un escalar $s$ transforma trivialmente:

$$s \rightarrow s' = s$$

Una de Lorentz vector es un elemento de la 4-dimensional espacio vectorial considerado como una representación de espacio de la norma $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ representación del grupo de Lorentz. En otras palabras, un vector $\mathbf{v}$ transforma:

$$\mathbf{v} \rightarrow \mathbf{v}' = \mathbf{\Lambda} \mathbf{v}$$

$\mathbf{\Lambda}$ es la transformación de Lorentz de la matriz.

Una función escalar, como $\phi(\mathbf{x})$ mapas de un Lorentz vector a un escalar de Lorentz, es decir, $$\mathbf{x} \mapsto \phi(\mathbf{x})$$

En consecuencia, se transforma a $$ \mathbf{\Lambda x} \mapsto \phi'(\mathbf{\Lambda x}) = \phi(\mathbf{x}) $$

Por lo tanto, $$\phi' (\mathbf{x}) = \phi (\mathbf{\Lambda^{-1} x})$$ De hecho, $$\phi' (\mathbf{x'}) = \phi (\mathbf{\Lambda^{-1} \Lambda x}) = \phi (\mathbf{x})$$