¿Puede extenderse la noción de "cuadratura" a otras formas?

Question

Todos sabemos lo que es la cuadratura:

$$n^2=n\times n$$

Más concretamente, podría definirlo como

$$n^2=\text{ area of a square with side length }n$$

En lugar de utilizar la notación normal, quiero decir que

$$\operatorname{square}(n)=\text{ area of a square with side length }n$$

¿Tiene algún sentido que esto se extienda a otras formas?

$$\operatorname{triangle}(n)=\text{ area of a triangle with side length }n$$

$$\operatorname{pentagon}(n)=\text{ area of a pentagon with side length }n$$

etc.

En concreto, ¿hay alguna razón de peso para que tengamos esas cosas? En segundo lugar, ¿qué es lo que hace que la plaza sea tan especial aquí como para tener su propia operación?

Por ejemplo, podríamos haber hecho todo en términos de triángulos. Entonces el área del cuadrado estaría dada como

$$\operatorname{square}(n)=\frac{12}{\sqrt3}\operatorname{triangle}(n)$$

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Preferiblemente, me gustaría decir $\square(n)$ y $\triangle(n)$ pero no puedo hacer $\pentagon(n)$ .

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EDITAR

Dios mío, me olvidé por completo de incluir la función del círculo, la más importante de todas. Así que no te olvides de tenerla en cuenta.

Otra buena pregunta es si esto se ha utilizado antes o no. (Sé que usamos círculos/triángulos cuando se trata de coordenadas polares)

Answer 1

En realidad, existen los llamados números poligonales de todos los tamaños. Los números de los triángulos son 1, 3, 6, 10, 15, ... . Pueden disponerse en forma de triángulo equilátero (relleno). Se forman como

1, 1+2, 1+2+3, ... , por lo que el número de triángulo n es $T_n = n(n+1)/2$ .

Del mismo modo, los números cuadrados se pueden formar (sólo usando la suma) como

1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, ..., y el n's número cuadrado es (por supuesto) $S_n = n^2$ .

Los números pentagonales que forman pentágonos regulares (incluyendo los puntos interiores) son 1, 5, 12, 22, ..., que están formados por

1, 1+4, 1+4+7, 1+4+7+10, ... .

Y si estudias la pregunta "¿Qué números triangulares son también números cuadrados?", te llevará a resolver la ecuación de Pell $X^2 - 2Y^2 = 1$ y encontrar infinitas soluciones a $T_n=S_m$ siendo la solución más pequeña no trivial $T_8=S_6=36$ . Por otro lado, no estoy seguro de que se sepa si existen infinitos números que sean simultáneamente triangulares, cuadrados y pentagonales, o si existen tales números (aparte del 1).

Answer 2

Si está interesado, el área de una $n$ -polígono con longitud de lado $l$ es $$ \frac{nl^2}{4}\cot\frac{\pi}{n} $$ Los cuadrados/rectángulos son fundamentales, ya que son los productos de dos intervalos (en teoría de conjuntos): $$ [a,b] \times [c,d] $$ Entonces resulta natural asignar a este cuadrado/rectángulo un área de $(d-c)(b-a)$ . Otras formas no pueden expresarse de esta manera.

Answer 3

Creo que tienes la motivación al revés. La función $f(x) = x^2$ es una función muy útil por sí misma. De hecho, forma parte de toda una familia de funciones:

$$1, x, x^2, x^3, x^4, x^5, x^6, \ldots$$

Los matemáticos llevan siglos pensando en estas funciones (llamadas polinomios). De hecho, el campo de las geometría algebraica se trata básicamente de resolver ecuaciones con polinomios.

Ahora bien, resulta que $x^2$ tiene la propiedad especial de que es igual al área del cuadrado de lado $x$ . Los matemáticos pensaron que se trataba de una propiedad muy bonita, por lo que decidieron llamar a esta función la función "cuadrada". Igualmente, $x^3$ es la función "cubo", y si viviéramos en un espacio de mayor dimensión, probablemente tendríamos un nombre geométrico para la función $x^4$ también.

Resumen: La función $x^2$ fue el primero, y el nombre "función de cuadratura" fue el segundo.

Answer 4

También hay una justificación geométrica que proviene del mundo/espacio físico en el que vivimos. Los cuadrados tienen todos sus ángulos $90^\circ$ . En comparación con otros $2\pi/n$ el ángulo $2\pi/4$ se produce de forma natural. Las esquinas de las paredes de los edificios (a menos que trabajes en un establecimiento de defensa estadounidense cuyo nombre empiece por P). tienen este ángulo. Los ángulos de los cruces de las carreteras se prefieren así.

Entre todas las formas, el círculo es la más significativa. El cuadrado tiene una relación especial con el círculo de la siguiente manera: La relación de áreas de un círculo de radio $r$ con un cuadrado de lado $r$ parece surgir en todo el cálculo. (a diferencia de la proporción del área triangular)

Answer 5

Otra suposición es que el área es homogénea de grado 2 (es decir, para cualquier $x, \lambda \in \Bbb R$ , $nagon(\lambda x) = \lambda^2 nagon(x) = square(\lambda)nagon(x)$ ). Así, $square()$ sería más adecuado para tratar el problema geométrico relativo a otras formas que otras función poligonómica ?