Aplicación de las series de Fourier en el mundo real

Question

¿Cuáles son algunas aplicaciones de las series de Fourier en el mundo real? ¿En particular, las integrales complejas de Fourier?

Answer 1

Resulta que (casi) cualquier tipo de onda puede escribirse como una suma de senos y cosenos. Así que, por ejemplo, si yo grabara tu voz durante un segundo diciendo algo, puedo encontrar su serie de Fourier que puede ser algo así, por ejemplo

$$\textrm{voice} = \sin(x)+\frac{1}{10}\sin(2x)+\frac{1}{100}\sin(3x)+...$$

y este módulo interactivo te muestra cómo cuando añades senos y/o cosenos la gráfica de cosenos y senos se acerca cada vez más a la gráfica original que estamos tratando de aproximar.

Lo mejor de las series de Fourier es que, en primer lugar, se puede aproximar casi cualquier tipo de onda. En segundo lugar, cuando las series de Fourier convergen, lo hacen muy rápido.

Así que una de las muchas aplicaciones es la compresión. El formato MP3, el favorito de todos, lo utiliza para la compresión de audio. Tomas un sonido, expandes su serie de Fourier. Lo más probable es que sea una serie infinita, PERO converge tan rápido que tomar los primeros términos es suficiente para reproducir el sonido original. El resto de los términos se pueden ignorar porque añaden tan poco que el oído humano probablemente no pueda notar la diferencia. Así que simplemente guardo los primeros términos y luego los uso para reproducir el sonido cuando quiero escucharlo, y ocupa mucha menos memoria.

JPEG para las fotos es la misma idea.

Answer 2

Puedo decir sobre estas aplicaciones.

1. Procesamiento de señales . Puede ser la mejor aplicación del análisis de Fourier.

2. Teoría de la aproximación . Utilizamos las series de Fourier para escribir una función como un polinomio trigonométrico.

3. Teoría del control . Las series de Fourier de las funciones en la ecuación diferencial suelen dar alguna predicción sobre el comportamiento de la solución de la ecuación diferencial. Son útiles para averiguar la dinámica de la solución.

4. Ecuación diferencial parcial . Lo utilizamos para resolver ecuaciones diferenciales parciales de orden superior por el método de separación de variables.

Answer 3

Para un ejemplo muy concreto: Uno de nuestros estudiantes universitarios estaba tomando datos generados por una persona que corría sobre una placa de fuerza. Como la fuerza que se ejerce en los pies al correr es, en su mayor parte, periódica, ajustó los datos con una curva utilizando el análisis de Fourier. El trabajo que siguió puede utilizarse para ayudar a desarrollar mejores zapatillas para correr.

Answer 4

Creo que Shazam identifica la música comparando la descomposición de Fourier del sonido grabado con un recurso de datos de descomposiciones de Fourier de canciones conocidas.

Answer 5

Otra variación de la serie de Fourier para comparar secuencias de ADN es Un nuevo método de análisis comparativo de secuencias de ADN que utilizaba las series de Ramanujan-Fourier. La idea es la misma que la de las series de Fourier, pero con una base ortogonal diferente (Fourier tiene una base de funciones trigonométricas, R-F utiliza sumas de Ramanujan). Otras bases ortogonales son las funciones de Walsh-Hadamard, los polinomios de Legendre, el polinomio de Chebyshev, etc.

Independientemente de la base ortogonal utilizada, una de las aplicaciones prácticas es el análisis de señales y datos. La transformación / descomposición en una suma de coeficientes veces funciones de base, le permite hacer una o ambas cosas:

• "Ver" a través del ruido y destacar cualquier periodicidad o patrón no evidente dentro de los datos/señal.
• "Mayor en los mayores" centrándose en o preservando los componentes más importantes de la señal. Los componentes más importantes componentes son precisamente los componentes con los mayores coeficientes.

La base determina lo que se destaca en la señal / los datos. Una descomposición en serie de Fourier resalta los componentes sinusoidales, una descomposición de Walsh-Hadamard resalta los componentes que son ondas cuadradas periódicas, una descomposición R-F resalta los comportamientos que son similares a la distribución de los primos entre los enteros.