qué funciones o clases de funciones son no integrables de Riemann pero integrables de Lebesgue

Question

Me pregunto si hay algún otro ejemplo de Riemann no integrable pero sí de Lebesgue, además de la conocida función de Dirichlet.

Gracias.

Answer 1

El enlace de Yuval muestra el criterio general para las funciones acotadas en un intervalo acotado, a saber, la continuidad en casi todas partes. La función de Dirichlet es un buen ejemplo, pero es cero en casi todas partes, y la función cero seguro que es integrable en Riemann. Si se considera la función característica de un Conjunto de Cantor de medida positiva entonces no es integrable de Riemann porque es discontinuo en cada punto de este conjunto "gordo" de Cantor, y no se pueden modificar los valores en un conjunto de medida 0 para arreglar este defecto.

La misma idea funcionaría para cualquier subconjunto cerrado y no denso $E\subset[0,1]$ de medida positiva, y se puede apelar a la definición para verlo. Porque todo subintervalo de $[0,1]$ tiene una intersección no vacía con $[0,1]\setminus E$ las sumas inferiores de Riemann de $\chi_E$ son todos $0$ . Sin embargo, las sumas superiores de Riemann están acotadas por debajo de $m(E)\gt0$ .

Answer 2

Para mí el ejemplo "canónico" es la función característica de los números racionales en $[0,1]$ . La integral superior es uno, la integral inferior es cero.

Editar: Jonás y Morón me han informado de que algunas personas llaman a este ejemplo función de Dirichlet (y recuerdo vagamente que puede que lo hiciéramos también en nuestra clase de Análisis).

Answer 3

Consulte el artículo de Wikipedia sobre el Integral de Riemann para obtener algunas ideas.