Límite de una función que implica una secuencia.

Question

Tengo el siguiente problema:

Supongamos que $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. Demostrar que para cualquier $x$ % $ $$\lim_{n \to \infty} \left(1+a_n \frac{x}{n}\right)^n = 1.$

Lo he intentado sustituir el $a_n$ con una función $a(n)$ y la regla de L'Hopital aplicando pero no consiguió ningún resultado útil. También probé va directamente a las definiciones y demostró que $\lim_{n \to \infty} (1+a_n \frac{x}{n}) = 1$, pero no sé cómo lidiar con el poder de th de $n$ (que hace que el % de límite $\lim_{n \to \infty} \exp(n(1+a_n \frac{x}{n}))$indeterminada).

Answer 1

Fijar $x\in\mathbf R$.

Por la desigualdad de Bernoulli (aquí $n$ tiene que ser bastante grande, por lo que $a_n x/n>-1$), $$ \Bigl(1+\frac{a_nx}{n}\Bigr) ^ n\geq 1 + a_n x. $$ Por el contrario, desde $$ \Bigl(1+\frac{a}{n}\Bigr) ^ n\leq e ^ una $$ % todo $a\in\mathbf R$, $$ \Bigl(1+\frac{a_nx}{n}\Bigr) ^ n\leq e ^ {a_n x}. $$ Ahora utilizar el teorema del sandwich.

Answer 2

Aviso, $$\lim_{n\to \infty}\left(1+a_n\frac{x}{n}\right)^n$$ usando binomio expansión de % de $\left(1+a_n\frac{x}{n}\right)^n$ y descuidar el mayor poder adquisitivo, conseguimos $$=\lim_{n\to \infty}\left(1+na_n\frac{x}{n}\right)$ $ $$=\lim_{n\to \infty}\left(1+a_n x\right)$$ $$=\lim_{n\to \infty} 1+x\lim_{n\to \infty}a_n $$ $% $ $= 1+x(0)=1 $

Answer 3

Tomar registro: $$ \lim_{n\to\infty} n\ln\left (1 + a_n\frac {x} {n} \right). $$ Pero si xn de $a_n\to0$ $$ \ln\left(1 + a_n\frac{x}{n}\right)\sim a_n\frac y $$ $$ \lim_{n\to\infty} n\ln\left (1 + a_n\frac {x} {n} \right) = \lim_{n\to\infty} a_n x = x\lim_ {n\to\infty} a_n = 0; $$ así $ \lim_{n\to\infty} \left (1 + a_n\frac {x} {n} \right) ^ n = 1 $$

Answer 4

Le estoy dando una respuesta simple.

$\lim\limits_{x\to \infty} a_n \to 0$

Ahora, $\lim\limits_{x \to \infty} (1+a_n \frac xn)^n =\lim\limits_{x\to \infty}((1+a_n \frac xn)^ {\frac n{a_n x}})^{a_nx} =e^{\lim\limits_{n\to \infty}\;a_n x} =e^0=1$

Answer 5

$$ \left(1 + \frac{a_n x}{n}\right) ^ n = \bigg [\underbrace{\left (1 + \frac {a_n x} {n} \right) ^ {\frac {n} {a_n x}}} _ {\to e} \bigg]^{\overbrace{a_n x} ^ {\to 0}} \to e ^ 0 = 1 $$