Determinante de un diagrama de retroceso

Question

Supongamos que X e y son conjuntos finitos y que f : X → Y es un mapa arbitrario. Vamos PB denotar el pullback de f consigo misma (en la categoría de conjuntos) como se muestra en el diagrama conmutativo

PB → X
↓ ↓
X → Y

Terence Tao observa en uno de los comentarios en su blog que el producto de la |PB| y |Y| es siempre mayor o igual que |X|². (Esta es una aplicación de Cauchy-Schwarz desigualdad.) Este hecho puede ser reformulada de la siguiente manera: Si ignoramos en el diagrama anterior, todas las flechas y reemplazar los conjuntos por sus cardinalidades se obtiene una matriz de 2x2 con un no-negativo determinante.

La pregunta es si este es un fenómeno general. Supongamos que n es un entero positivo y que X₁, X₂, ... ,X_n son conjuntos finitos; además nos da los mapas de f₁ : X₁ → X₂, f₂ : X₂ → X₃, ... , f_n-1 : X_n-1 → X_n. Construimos un pullback diagrama de tamaño nxn. El diagrama para n=4 se muestra a continuación.

PB → PB → PB → X₁
↓ ↓ ↓ ↓
PB → PB → PB → X₂
↓ ↓ ↓ ↓
PB → PB → PB → X₃
↓ ↓ ↓ ↓
X₁ → X₂ → X₃ → X₄

Aquí, los mapas entre la X_i en la última fila y columna de la correspondiente f_i y el PBs denotar la inducida por pullbacks. (Por supuesto, a pesar de que son indicados por el mismo símbolo, diferentes PBs son diferentes de objetos). El PBs puede ser construido de forma recursiva. En primer lugar, tomar el pullback de X₃ → X₄ ← X₃; viene con los mapas X₃ ← PB → X₃. Habiendo construido este, tome la retirada de X₂ → X₃ ← PB y así sucesivamente.

Ignorar todas las flechas y reemplazar los conjuntos de sus cardinalidades. Es el determinante de la resultante de la matriz nxn siempre no negativo?

Answer 1

Escritura X_n = {x₁,..., x_k}. Para cada 1 ≤ i ≤ k w dejó ser el vector cuya componente j es la cardinalidad de la imagen inversa de x_j X_i. Entonces su matriz es la suma w₁w₁^T +... + w_kw_k^T, una suma de matrices semidefinite positivo, por lo que es positivo semidefinite y, en particular tienen determininant no negativo.