Si $f(z)$ es periódico real y $g(z)$ es periódico complejo , Can $g(z+f(z))$ ser periódico?

Question

Sea $A$ sea un número real distinto de cero y sea $B$ sea un número complejo no real. Sea $z$ sea un número complejo. Sea $f(z)$ et $g(z)$ sean funciones no constantes definidas para todos los números complejos $z$ y satisfacer

$f(z+A)=f(z),$ $g(z+B)=g(z)$

et $B$ no es un período de $f$ et $A$ no es un período de $g$ .

¿Es posible que $g(z+f(z))$ ¿es periódica?

Answer 1

Sí. Hay funciones $\theta(z)$ con un período real 1-cíclico, y $g(z), \;h(z)$ son funciones periódicas complejas donde $h(z)=g(z+\theta(z))$ et $g(z)$ tiene un periodo complejo diferente de $h(z)$ .

A continuación genero un ejemplo de solución, utilizando dinámica compleja. Considere la posibilidad de iterar la función $f(z)=z^2+z-0.01$ También podríamos utilizar otros valores negativos pequeños distintos de -0,01, para generar dos puntos fijos.

$f(z)$ tiene dos puntos fijos, -0,1 y 0,1, donde $f(-0.1)=-0.1\;\;\;\;f(0.1)=0.1\;\;\;\;$ Se puede desarrollar la función de Schroeder en cualquiera de los dos puntos fijos. 0,1 es un punto fijo de repulsión, -0,1 es un punto fijo de atracción.

Consideremos ahora la primera mitad de la solución de la función de Op como $g(z)=f^{o z}(0)\;\;\;\;g(z+1)=f(g(z))$ donde $f^{o z}(0)$ se genera a partir del punto fijo +0,1 utilizando la función inversa de Abel $\alpha^{-1}(z)$ y la función de Abel se genera a partir de la solución estándar de la función de Schroeder alrededor del punto fijo +0,1. $g(z)$ es una función periódica compleja con un período de $\frac{2\pi i}{\ln(\lambda)}$ donde $\lambda$ es el multiplicador en el punto fijo. Para el punto fijo de 0,1, $\lambda=\frac{6}{5}$ desde $f(0.1+x)=0.1+\frac{6x}{5}+x^2$ y el período es $\approx 34.462i$ por lo que el $g(z)$ es periódica imaginaria, y se genera a partir de la ecuación de Schroeder para $y \mapsto \frac{6}{5}y+y^2;\;\; y=z-0.1\;\;\;\;$ También, $g(z)$ resulta estar entero. He aquí la forma periódica de la serie de Fourier para $g(z)$ .

$$g(z) = 0.1 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \left( \frac{6}{5} \right) ^ {nz} $$

Consideremos ahora otra función $h(z)$ que se genera a partir del otro punto fijo -0,1 de forma muy similar. Resulta que $h(z)=g(z+\theta(z))$ donde $\theta(z)$ es una función periódica 1-cíclica, $\theta(z+1)=\theta(z)$ . Pero primero, volvamos a $h(z)$ .

$h(z)=f^{o z}(0)\;\;\;\;h(z+1)=f(h(z))$ , pero esta vez estamos utilizando el otro punto fijo de -0,1, que es un punto fijo atrayente. $h(z)$ se genera a partir del punto fijo -0,1 utilizando la función inversa de Abel $\alpha^{-1}(z)$ y la función de Abel se genera a partir de la solución estándar de la función de Schroeder alrededor del punto fijo -0,1. $h(z)$ es una función periódica compleja con un período de $\frac{2\pi i}{\ln(\lambda)}$ donde $\lambda$ es el multiplicador en el punto fijo. Para el punto fijo de -0,1, $\lambda=\frac{4}{5}$ desde $f(-0.1+x)=-0.1+\frac{4x}{5}+x^2$ y el período es $\approx 28.157i$ En $h(z)$ es periódica imaginaria, y se genera a partir de la ecuación de Schroeder para $y\mapsto \frac{4}{5}y+y^2;\;\; y=z+0.1\;\;\;\;$ $h(z)$ tiene ramas de raíz cuadrada donde $h(z)=-0.5$ . Estas singularidades se producen a la mitad del periodo imaginario de $h(z)$ más cualquier múltiplo del período; uno de ellos está cerca de $z\approx 4.0831 \pm 14.0788i$ . $h(z)$ es analítica a la derecha de esta singularidad, y donde también donde $|\Im(z)|<\approx 14.0788i$

$$h(z) = -0.1 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \left( \frac{4}{5} \right) ^ {nz} $$

Ambos $h(z)$ et $g(z)$ son de valor real en el eje real; ambas tienen las mismas ecuaciones de iteración definitorias, y para valores enteros de z, $h(z)=g(z)$ . Discrepan muy ligeramente en las iteraciones fraccionarias, que es lo que lleva a $\theta(z)$ . Tanto h(z) como g(z) tienen un valor límite de -0,1 a medida que z real se hace arbitrariamente grande positivo, y un valor límite de 0,1 a medida que z real z se hace arbitrariamente grande negativo. g(z) está bien definida para valores complejos de z si $\Re(z)$ es un número negativo grande, donde $g(z)\approx 0.1+1.2^{z+k}$ y es periódico imaginario, con valores cíclicos en torno a 0,1 con un periodo imaginario de $\approx 34.462i$ . A la mitad del periodo imaginario, $g(z)$ crece desde el punto fijo de repulsión 0,1 y se hace arbitrariamente grande. $h(z)$ está bien definido en el plano complejo si $\Re(z)$ es un número positivo grande, donde $h(z)\approx -0.1$ y $h(z)$ también es periódico imaginario, y $h(z) \approx -0.1 + 0.8^{z+k}$ gira en torno a -0,1 con un periodo imaginario diferente de $\approx 28.157i$

Entonces, resulta que hay una pequeña función periódica cíclica, $f(z)=\theta(z)$ . $\theta(z)$ es analítica en el eje real, y tiene una singularidad 1-cíclica en $z \approx n + 0.0831 \pm 14.0788i$ donde las singularidades de $h(z)$ son. Y, un ejemplo de solución a la pregunta del Op se convierte en:

$$h(z)= g(z+\theta(z))$$

He aquí una imagen de la función iterada $f^{o z}(0)$ en el eje real, de -25 a +25, donde pasa gradualmente de +0,1 a -0,1, donde $f(z)=z^2+z-0.01$ Valores enteros de $f^{o z}$ puede generarse trivialmente iterando $z \mapsto z^2+z-0.01$ o iterando la función inversa, $f^{-1}(z)$ que es $z \mapsto \sqrt{z+0.26}-0.5$ . Para iteraciones fraccionarias de $f^{o z}$ hay dos soluciones muy ligeramente diferentes, dependiendo de si desarrollamos la función iterada a partir del punto fijo de atracción de -0,1 en $+\infty$ o el punto fijo de repulsión de +0,1 en $-\infty$ . Estas dos soluciones para $f^{o z}(0)$ puede generarse a partir de las dos ecuaciones formales de Schroeder para los dos puntos fijos, aunque es necesario escalar la solución formal para que g(0)=0 y h(0)=0. Puedo añadir más adelante.

He aquí un gráfico de la minúscula cíclica 1 de valor real $\theta(z)$ en el eje real, de -1 a +1. Como puedes ver, su magnitud es $|\theta(z)| \lt 8 \cdot 10^{-40}$

Este es un gráfico de $\left(g(z)-0.1\right)$ en $\;\;\Re(z)=-25$ . He utilizado la función de iteración $y \mapsto \frac{6y}{5}+y^2$ donde $z=y+0.1$ et $z \mapsto z+z^2-0.01$ . Toma, $g(z)$ tiene un periodo imaginario de $\frac{2\pi i}{\ln(1.2)}\approx 34.462i$ . El gráfico va de $z=-25-18i$ à $z=-25+18i\;\;$ El rojo es imaginario y el magenta es real. Se podría generar un gráfico similar para $h(z)+0.1$ en $\Re(z)=+25$ pero el período imaginario sería $\approx 28.158i$ .