Es de $1992! - 1$ prime?

Question

Considerar la factoriales, se define inductivamente por $1! = 0! = 1$ y $n! = n\cdot(n-1)!$ para $n \geq 2$.

Pregunta: Es De $1992!-1$ un número primo?

La pregunta es de un libro, tal vez es el concurso de un problema de matemáticas. Ahora creo 1992 es especial?

Answer 1

No. El más pequeño de factores primos son de $3449$ y $8627$ (se encontró con Mathematica).

Por lo que vale la pena:

$$\{n\in\mathbb{N}:2\le n\le2000\text{ y }n!-1\text{ es el prime }\}=\\\{3,4,6,7,12,14,30,32,33,38,94,166,324,379,469,546,974,1963\}$$

Debería haber pensado en la comprobación de OEIS. Este es el video A002982

Answer 2

Wilson, el teorema establece que un número natural $n > 1$ es un número primo si y sólo si $(n-1)!\equiv -1 \mod n$. Sabemos que $1993$ es primo, por lo tanto $de 1992! \equiv -1 \mod 1993$, lo que implica $de 1992! -1 \equiv 1991 \mod 1993$. Se deduce entonces que $1992! \equiv 1993k + 1991$ $k \in \Bbb Z^+$. $1992!$ es incluso (porque es divisible por $4$ y por lo tanto tiene una cantidad de números impares) y mus $1993k$ debe ser impar, lo que implica $k$ es impar.

Método uno

Queremos mostrar $(1992!-1)! \no\equiv -1 \mod (1992!-1)$. Pero $de 1992! -1 = 1993k + 1991$ extraños $k$, lo que queremos mostrar a $1993k + 1991 \no\equiv -1 \mod (1993k + 1991)$.

Método de los dos

El uso de la definición del primer lugar.

Herramientas

$1992! -1 = 1993k + 1991$, donde $k$ es impar.

Un número $p$ se dice primo si $p|ab$ implica $p|a$ o $p|b$ para todo $a,b$.

$(n-1)! \equiv -1 \mod n$ si $n$ es primo.