¿Cómo es $\epsilon_0$ ¿contable?

Question

En Wikipedia dice que cualquier número épsilon con el índice que es contable es contable. ¿Cómo es eso? De todos esos números, quiero saber especialmente por qué $\epsilon_0$ es contable.

Gracias.

Answer 1

Esto es una pesadilla notacional en la teoría de conjuntos. $\omega$ es tanto ordinal como cardinal; y el exponenciación cardinal también exponenciación ordinal tienen la misma notación.

A menudo se entiende por el contexto cuál de los dos se utiliza, pero aún así puede ser bastante confuso para las personas nuevas en esto. Exponenciación cardinal $\omega^\omega$ significa que tomamos la cardinalidad de todas las funciones de $\omega$ a $\omega$ , esto es por supuesto de tamaño continuo, que es de una cardinalidad incontable.

Por otro lado, $\omega^\omega$ en la exponenciación ordinal significa que tomamos algún tipo de orden que es un sumo de ordinales contables. ¿Qué son esos ¿ordinales? Son ordinales que se definen como límite de ordinales menores son $\omega^n$ y así podemos seguir desplegando las definiciones de la aritmética ordinal hasta tener que $\omega^\omega$ es un supremio de algún conjunto mucho más "simple" (en realidad es mucho más complicado que simplemente $\omega^n$ Sin embargo, el)

Este conjunto "más simple" sólo contiene ordinales contables, y él mismo es contable. Sabemos que la unión contable de conjuntos contables es contable, por tanto $\omega^\omega$ es contable.

¿Qué tiene que ver todo eso con $\epsilon_0$ ? Bien, por inducción tenemos que $\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\ldots$ son todos contables, y sólo hay un número contable de ellos. De aquí tenemos que $\epsilon_0$ también es contable. Es un ordinal contable grande . Ahora podemos continuar por inducción, lo que es $\epsilon_1$ ? Repetimos el mismo proceso sólo que empezamos desde $\epsilon_0+1$ en lugar de $\omega$ .

Esto es de nuevo un proceso contable, por lo que debe terminar en un ordinal contable como antes; por inducción podemos ver eso:

• si $\alpha$ es contable entonces $\epsilon_\alpha$ es contable, si $\alpha$ es el límite, entonces es sólo la unión de un número contable de $\epsilon$ números (la hipótesis de inducción es que $\epsilon_\beta$ para $\beta<\alpha$ es contable) y por lo tanto $\epsilon_\alpha$ es contable.
• Si $\alpha=\beta+1$ entonces $\epsilon_\beta$ es contable y como con $\epsilon_1$ terminamos en un ordinal contable.

¿Qué pasa con $\epsilon_{\omega_1}$ ? Bueno, para cada $\alpha<\omega_1$ tenemos que $\epsilon_\alpha$ es contable, y si $\alpha<\beta$ entonces $\epsilon_\alpha<\epsilon_\beta$ . Por lo tanto, tenemos $\aleph_1$ muchos ordinales distintos por debajo de $\epsilon_{\omega_1}$ por lo que ya no es un ordinal contable. De hecho $\epsilon_{\omega_1}$ es el límite de todos aquellos $\epsilon_\alpha$ para la cuenta $\alpha$ y se puede ver que el supremum de incontables ordinales contables no puede ser otro que $\omega_1$ . (Si $\delta>\omega_1$ no puede ser el sumo de un conjunto de contable ordinales)

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Repitamos las definiciones de la aritmética ordinal:

• $\alpha+0 = \alpha;\ (\alpha+\beta)+1 = \alpha+(\beta+1)$ y para $\beta$ límite, $\alpha+\beta=\sup\{\alpha+\gamma\mid\gamma<\beta\}$ ,
• $\alpha\cdot0 = 0;\ \alpha\cdot(\beta+1)=\alpha\cdot\beta+\alpha$ y para $\beta$ límite, $\alpha\cdot\beta=\sup\{\alpha\cdot\gamma\mid\gamma<\beta\}$ ,
• $\alpha^0 = 1;\ \alpha^{\beta+1} = \alpha^\beta\cdot\alpha$ y para $\beta$ límite, $\alpha^\beta=\sup\{\alpha^\gamma\mid\gamma<\beta\}$ .

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Más material de lectura:

• Un sistema numérico (Definiciones de aritmética ordinal)
• ¿Hasta dónde llegan las notaciones ordinales conocidas? (Discusión sobre la forma normal de Cantor de los ordinales, y $\epsilon$ -números)

Answer 2

Wikipedia da la respuesta, de hecho: es la unión de un conjunto contable de ordinales contables $\left\{\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\ldots\right\}$

Answer 3

Según la Wikipedia, es porque es una unión contable de conjuntos contables. Sea $u_0 = 1$ y $u_{n+1} = \omega^{u_n}$ . Se demuestra fácilmente por inducción que $u_n$ es contable para todo $n$ :

• $u_0$ es obviamente contable;
• es un hecho general que si $\alpha$ es contable, entonces $\omega^\alpha$ las secuencias finitas de elementos de $\alpha$ también es contable. Para ver eso, dejemos que $s_n$ sean las secuencias de elementos de $\alpha$ de longitud exactamente $n$ (es decir, el $n$ es distinto de cero y todos los elementos posteriores son cero), entonces (por definición) $\omega^\alpha = \bigcup_{n < \omega} s_n$ y $|s_n| = \aleph_0^n = \aleph_0$ Así que $|\omega^\alpha| = \aleph_0$ . ( De hecho se puede intentar demostrar que si $\alpha, \beta$ son contables, entonces también lo son $\alpha^\beta$ ).

Por último, tiene (por definición) $\epsilon_0 = \bigcup_{n < \omega} u_n$ una unión contable de conjuntos contables.

Answer 4

Vsauce introduce muy bien el tema. https://www.youtube.com/watch?v=SrU9YDoXE88