Intento demostrar que la bola abierta de radio 1 centrada en el origen en $\mathbb{R}^n$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ . Creo que el "mapa encogido" de $\mathbb{R}^n$ a la bola dada por $x \mapsto \dfrac{x}{1 + |x|}$ hace el trabajo, pero tengo problemas para demostrar que es un homeomorfismo, en particular la parte "inversa continua". ¿Cuál es una buena manera de hacerlo?
Respuesta
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Para calcular la inversa, hay que tener en cuenta que si $|x|=\lambda$ entonces $$\left|\frac{x}{1+|x|}\right| = \frac{\lambda}{1+\lambda}.$$ Por lo tanto, dado $y\in\mathbb{R}^n$ con $0\leq |y|\lt 1$ , quieres encontrar $\lambda$ tal que $\lambda = (1+\lambda)|y|$ . Dejar $|y|=\mu$ tenemos $(1-\mu)\lambda = \mu$ o $\lambda = \frac{1}{1-\mu}$ .
Así que el mapa que quieres para la inversa es $$y\longmapsto \frac{y}{1-|y|}.$$ Obsérvese que esto está bien definido, ya que $0\leq |y|\lt 1$ Así que $0\lt 1-|y|\leq 1$ . Además, las composiciones son la identidad: $$\begin{align*} x &\longmapsto \frac{x}{1+|x|}\\ &\longmapsto \left(\frac{1}{1- \frac{|x|}{1+|x|}}\right)\frac{x}{1+|x|} = \left(\frac{1+|x|}{1+|x|-|x|}\right)\frac{x}{1+|x|}\\ &= \vphantom{\frac{1}{x}}x.\\ y &\longmapsto \frac{y}{1-|y|}\\ &\longmapsto \left(\frac{1}{1 + \frac{|y|}{1-|y|}}\right)\frac{y}{1-|y|} = \left(\frac{1-|y|}{1-|y|+|y|}\right)\frac{y}{1-|y|}\\ &= \vphantom{\frac{1}{y}}y. \end{align*}$$ Ahora basta con comprobar que ambos mapas son continuos.
