Cómo encontrar esta ecuación $n!+(n+1)!+\cdots+(n+m)!=a^b$ todas las soluciones

Question

Encontrar todos los números naturales $m,n$ y entero positivo $a,b>1$ como $$n!+(n+1)!+\cdots+(n+m)!=a^b$$

Encuentro

(1): $$1!+2!+3!=1+2+6=9=3^2$$ t $$n=1,m=2,a=3,b=2$$

Ahora @Xoff han encontrado otros dos solución

(2): $$2!+3!=8=2^3$$ s $$n=1,m=1,a=2,b=3$$

(3): $$2!+3!+4!=32=2^5$$ s $$n=2,m=2,a=2,b=5$$

y ahora Peter Košinár encontró la cuarta solución

(4): $$4!+5!=12^2$$ s $$n=4,m=1,a=12,b=2$$

así que sólo encuentro esto, creo que esto tiene otra, así que ¿Cómo se puede encontrar toda la solución, Gracias

Este problema es mi estudiante me pregunta, así que no kown vienen de

Gracias

@Ivan Loh y demás pueden ver este bonito problema

Oh, mi estudiante me dice que este problema es de China BBS: http://tieba.baidu.com/p/2760536313

Hoy he resuelto el siguiente problema:

si $x,y,z\in Z$ tal $$1!+2!+3!+\cdots+x!=y^z$$ sólo tienen cuatro casos (1): $$x=1,y=\pm 1,z=2n$$ (2): $$x=3,y=\pm 3,z=2$$ (3): $$x\in Z,z=1,y=1+2!+\cdots+x!$$ (4): $$x=1,y=1,z\ge 3,z=2n+1$$

Answer 1

No estoy del todo seguro de por qué uno se plantearía una pregunta así, pero sospecho que sería bastante difícil resolverla por completo (¡o quizá no!). Por otra parte, no es difícil demostrar, por ejemplo, que sólo hay una solución conocida con, digamos, $n > m^2$ observando que $n!$ divide el lado izquierdo y que cada primo entre $n/2$ y $n$ divide $n!$ exactamente una vez. El producto de tales primos es aproximadamente de tamaño $e^{n/2}$ que (suponiendo que $n > m^2$ ) es mayor que $$ \left( n! + (n+1)! + \cdots + (n+m)! \right)/n!. $$ De este modo se garantiza que haya algún primo entre $n/2$ y $n$ que divide $a^b$ exactamente una vez, contradiciendo $b > 1$ . Hay algunos detalles necesarios para explicitar este argumento, pero ninguno de ellos es demasiado desagradable.