Construcción de una serie convergente/divergente de una secuencia positiva

Question

Supongamos que $\{x_n\}$ es una secuencia positiva tal que $x_n \to 0$. Construir una secuencia positiva $s_n$ tal que $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty s_n$ diverge y converge $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty x_ns_n$.

Está claro que si $\sum x_n$ converge, entonces toma $s_n=1$ % todo $n$funcionará. Entonces, redujimos estamos al caso donde diverge $\sum x_n$. Mi único pensamiento es que como $\sum x_n$ no converge, su cola no forman una secuencia de Cauchy, por lo tanto, $\epsilon>0$por ciento, tenemos $$\sum_{n=m}^\infty x_n > \epsilon$$ cualquier sugerencia en cuanto a ¿cómo debo proceder?

Answer 1

Ya $x_n\to 0,$ podemos decir i) el %#% de #% se limita arriba $x_n$ ii) hay $M;$, que $n_1 < n_2 < \cdots$ cada $x_{n_k} < 1/k^2$

Que $k.$ $E = \{n_1,n_2,\dots \}.$ definir $n \in E,$ de $s_n = 1.$ definición $n\notin E,$ $s_n=1/n^2.$ para infinitamente muchos $s_n = 1$ $n,$ tenemos

$\sum s_n =\infty.$$

La primera suma a la derecha es

$$\sum_{n=1}^{\infty} x_ns_n = \sum_{n\in E} x_ns_n + \sum_{n\notin E} x_ns_n.$$

La segunda suma a la derecha es no más de

$$\sum_{k=1}^\infty x_{n_k}s_{n_k}< \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\cdot 1 < \infty.$$

Así $$\sum_{n\notin E} M\cdot \frac{1}{n^2} < \infty.$ converge como desee.