Demostrar la siguiente identidad:
$$\frac {1}{\cos 0^{\circ} \cdot \cos 1^{\circ}} + \ldots +\frac {1}{\cos 88^{\circ} \cdot \cos 89^{\circ}} = \frac{\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$$
Después de horas de intentarlo, yo no era capaz de hacer cualquier progreso significativo, que vale la pena mencionar. Finalmente me decidí a buscar en la solución, pero parece que el autor tenía el mismo problema, la lista de solución es obviamente erróneo.
$$\sin 1^{\circ}\left(\frac {1}{\cos 0^{\circ} \cdot \cos 1^{\circ}} + \ldots +\frac {1}{\cos 88^{\circ} \cdot \cos 89^{\circ}}\right) = \frac{\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$$
$$\frac {\sin 1^{\circ}}{\cos 0^{\circ} \cdot \cos 1^{\circ}} + \ldots +\frac {\sin 1^{\circ}}{\cos 88^{\circ} \cdot \cos 89^{\circ}} = \frac{\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$$
$$\frac {\sin (1^{\circ} - 0^{\circ})}{\cos 0^{\circ} \cdot \cos 1^{\circ}} + \ldots +\frac {\sin (89^{\circ} - 88^{\circ})}{\cos 88^{\circ} \cdot \cos 89^{\circ}} = \frac{\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$$
$$\frac {\sin 1^{\circ}\cos0^{\circ} - \cos 1^{\circ}\sin 0^{\circ}}{\cos 0^{\circ} \cdot \cos 1^{\circ}} + \ldots +\frac {\sin 89^{\circ}\cos 88^{\circ} - \cos 89^{\circ}\sin 88^{\circ}}{\cos 88^{\circ} \cdot \cos 89^{\circ}} = \frac{\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$$
$$\frac {\sin 1^{\circ}}{\cos 1^{\circ}} - \frac {\sin 0^{\circ}}{\cos 0^{\circ}} + \ldots +\frac {\sin 89^{\circ}}{\cos 89^{\circ}} - \frac {\sin 88^{\circ}}{\cos 88^{\circ}} + = \frac{\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$$
Espero ser claro hasta ahora, porque todo lo que hice fue simplemente primaria alegraic y trigonométricas de transformación. Así que ahora es sólo telescópico de la serie.
$$\frac {\sin 89^{\circ}}{\cos 89^{\circ}} - \frac {\sin 0^{\circ}}{\cos 0^{\circ}}= \frac{\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$$
$$\frac {\sin 89^{\circ}}{\cos 89^{\circ}} = \frac{\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$$
$$\frac {\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}} = \frac{\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$$
Q. E. D.
Pero creo que esto es realmente un counterproof, en lugar de una prueba, debido a que la identidad que el autor comenzó la prueba es diferente de la que nosotros queremos. Y obviamente $\sin 1^{\circ} \neq 1$
Mi pregunta es la identidad equivocada, es un error tipográfico? O me estoy perdiendo algo que es obvio?
