En primer lugar, no se desanime: uno del primer encuentro con análisis es generalmente difícil de la manera que usted está encontrando. Véase, por ejemplo, Herbert Wilf la pieza de Epsilon sándwiches, en el que describe cómo este curso es:
El uno en donde los estudiantes y epsilons cumplir, ojo a ojo, y
no es el epsilons que parpadean. El uno donde los estudiantes deciden que
realmente quería ser médicos, abogados, después de todo.
Este curso es famoso por ser nuestro rito de pasaje. Nuestras novatadas
de la ceremonia. Si quieres unirte al club, entonces aquí es un obstáculo que
tienes que saltar por encima.
Y así sucesivamente.
En segundo lugar, la mejor manera de entender una prueba es primero probar y demostrar el teorema de sí mismo. Entonces, cuando usted lea la prueba, usted tendrá una mejor idea de lo que está tratando de hacer: vas a saber qué partes son sólo el andamiaje, similar a lo que te han hecho a ti mismo, y qué partes son las nuevas ideas, la esencia real o nueva idea o truco que se debe tomar distancia de la prueba. Esto ayuda con todas las áreas de matemáticas - ver Thurston comentario aquí:
"Al escuchar una conferencia, posiblemente no pueda asistir a cada palabra: muchas palabras en blanco fuera de mis pensamientos. Mi atención repetidamente inmersiones hacia adentro para mis propios pensamientos y mis propios modelos mentales, preguntando '¿qué están diciendo realmente?' o '¿dónde va esto?'. Intento de acceso directo a través de mi propio entendimiento, entonces surgen a ver si todavía estoy con la conferencia. Es la única manera para mí, y que a menudo funciona."
- pero especialmente en el análisis es crucial, ya que de lo contrario el $2\epsilon/3M$ de mancha de pruebas pueden parecer sacados de un sombrero.
Finalmente, a esta pregunta en particular. Tiene una función de $f$ $0$ a los irracionales puntos, y $\frac1q$ en puntos racionales $\frac{p}q$. Quieres demostrar que para cualquier número $a$, la función de los enfoques $0$$a$. Antes de la lectura de la prueba, usted debe tratar de probarlo por ti mismo, así que vamos a tratar.
Empezamos con las definiciones: ¿qué significa decir que el $f$ enfoques $0$ en el punto de $a$? Si usted ha interiorizado las definiciones bien, usted debería ser capaz de decir (y si no, esta es una señal de que usted debe volver atrás y hacer que) lo que queremos demostrar: que $f(x)$ es sufficently cerca de $0$ $x$ lo suficientemente cerca de a $a$, o en formal palabras, para cualquier $\epsilon > 0$ existe $\delta$ que si $|x-a| < \delta$ $|f(x) - 0| < \epsilon$. Y de hecho, si usted se asoma ahora en la prueba, verás que es de la forma
Para probar esto, considere la posibilidad de cualquier número de $\epsilon > 0$. [...]
si $0<|x-a|< \delta $, a continuación, [ ... ] y, por tanto,$|f(x)-0| < \epsilon$. Esto completa la prueba.
así que tenemos el "esqueleto" de la prueba.
Siguiente, nos preocupamos acerca de la estrategia: ¿cómo vamos a demostrar que $|f(x) - 0| < \epsilon|$? Tratamos de utilizar lo que sabemos acerca de la $f$: que $f$ toma valores $0$ o de la forma $\frac1q$. En puntos de $x$ donde$f(x) = 0$,$|f(x) - 0| = |0-0| = 0$, por lo que es ciertamente menos de $\epsilon$ ( $\epsilon > 0$ ). Así que sólo tiene que preocuparse de $x$ donde $f(x) = \frac1q$ algunos $q$. En ese caso, $|f(x) - 0| = |\frac1q - 0| = \frac1q$. Nos gustaría que este a menos de $\epsilon$. (Ahora bien, si hemos de echar un vistazo a la prueba, vemos que la segunda frase es algo acerca de la toma de $n$ tal que $\frac1n \le \epsilon$, entonces es probablemente relacionado con este, y estamos en el camino correcto.) De hecho, para cualquier fija $\epsilon$ $q$ se hace más grande $\frac1q$ se hace más pequeño y, finalmente, se hace menor que $\epsilon$.
Así: para demostrar que $|f(x) - 0| < \epsilon$ $x$ suficientemente cerca de a $a$, podemos hacer algo parecido a la prueba por contradicción: nos fijamos en cuando no es cierto: $|f(x) - 0| \ge \epsilon$ al $f(x)$ es de la forma $\frac1q$ algunos $q$ tal que $\frac1q \ge \epsilon$, y sólo hay un número finito de estos $q$. Es decir, si tomamos algunos fijos $n$ lo suficientemente grande como para que $\frac1n \le \epsilon$, entonces la única $x$ que $|f(x) - 0| < \epsilon|$ son aquellos para los cuales $f(x) = \frac1q$ algunos $q \le n$, e $f(x) = \frac1q$ a su vez significa que $x = \frac{p}q$ algunos $q$, lo que le da al conjunto de los números en la prueba.
Tan sólo hay un número finito de estos puntos de $x$ a que la conclusión deseada $|f(x) - 0| \le \epsilon$ no podría mantener. Para evitarlo, debemos tomar en $x$ muy cerca de $a$ (tenga en cuenta que para probar la conclusión deseada, lo único que podemos controlar acerca de $x$ es su distancia $\delta$$a$). Es decir, para asegurarse de que $x$ no es ninguno de estos "puntos malos", vamos a insistir en que $x$ debe estar más cerca de a $a$ que cualquiera de estos "puntos malos", es decir, tomaremos $\delta$ inferiores a la menor de las distancias de estos "puntos malos" de $a$.
A continuación, $x$ seguro que no es ninguno de los "puntos malos", en los cuales la conclusión deseada $|f(x) - 0| \le \epsilon$ podría no tener, lo que significa que la conclusión se mantiene. Que el resto de la prueba, que espero que usted será capaz de entender ahora.
