¿Hay algún número ordinal contable que tenga un miembro indefinible?

Question

Deje que $Q \colon =\{ \alpha \in Ord \mid \exists \beta \in \alpha ( \beta \text { is undefinable in } \langle\alpha ,< \rangle )\}$ denotan el conjunto de todos los números ordinales que tienen un miembro indefinible.

Dado que sólo hay muchas fórmulas contables, el número de miembros definibles en $ \langle\alpha ,< \rangle $ debe ser, como mucho, infinito. Por lo tanto, todos los números ordinales incontables deben pertenecer a $Q$ . Por otro lado, para cada número natural, si está en $ \alpha $ entonces debe ser definible, esta conclusión es fácil de obtener por inducción.

Así que $q$ el miembro menos importante de $Q$ es mayor que $ \omega $ pero a lo sumo $ \omega_1 $ .

Mi pregunta : Es $q$ exactamente $ \omega_1 $ o uno contable?

Answer 1

La referencia estándar a esto es el artículo "La Teoría Elemental del Bienestar - Un Estudio Metamatemático -" por Doner, Mostowski y Tarski en Coloquio Lógico '77 Ed. Macintyre, Pacholski y Paris. En particular los estados del Corolario 46:

El conjunto de ordinales definibles en $ \mathfrak N_ \alpha $ [ $= \langle \alpha , \le\rangle $ ], donde $ \alpha = \omega ^ \omega \cdot \beta + \gamma $ con $0 < \beta , \gamma < \omega ^ \omega $ es $$ \omega ^ \omega \cup \{ \omega ^ \omega \cdot \beta + \gamma ' : \gamma ' < \gamma\ }$$ De hecho, la restricción de $ \mathfrak N_ \alpha $ a este conjunto es una subestructura elemental de $ \mathfrak N_ \alpha $ .

De ello se desprende que cada ordinal es definible en $ \omega ^ \omega + \gamma $ para $ \gamma < \omega ^ \omega $ . Sin embargo $ \omega ^ \omega $ no es definible en $ \omega ^ \omega \cdot 2$ . Así que $ \omega ^ \omega \cdot 2 \in Q$ .

Answer 2

Supongamos que tenemos ordinales de límite $ \alpha < \beta $ y $L_ \alpha \prec L_ \beta $ luego por Teorema 2.4 en Conjuntos indefinibles, Rudolf v.B. Rucker, Annals of Mathematical Logic Volume 6, números 3-4, marzo de 1974, páginas 395-419 que dice

Si x es un modelo de V=L, entonces $ \alpha $ es fuertemente inconcebible en x iff $L_ \alpha\prec x$ . Aquí $ \alpha $ es fuertemente inconcebible en medios x para todos $ \beta\geq \alpha $ , $ \beta $ no es definible en $ \langle x, \in \rangle $ con parámetros de $ \alpha\cap x$ .

Luego $ \alpha $ no es definible en $ \langle L_ \beta , \in\rangle $ con finamente muchos parámetros de $ \alpha $ . Por lo tanto, $ \alpha $ no es definible en $ \langle \beta , \in\rangle $ ya que podríamos definir en $L_ \beta $ "x es un ordinal" describiendo a x como transitivo y totalmente ordenado. Se sabe que $\{ \alpha : L_ \alpha\prec L_{ \omega_1 }\}$ es un conjunto cerrado sin límites, así que siempre podríamos elegir dos ordinales contables $ \alpha , \beta $ cuyas propiedades se describen arriba. Sin embargo, en realidad no te da el ordinal exacto.

Answer 3

Debe haber un ordinal contable indefinible, porque hay incontables ordinales contables.