Solucionar $\frac{dx}{dt} = x^3 + x$ $x$

Question

Este es un aparentemente simple de primer orden separable ecuación diferencial que estoy pegado en. Esto es lo que tengo hasta ahora:

$$\frac{dx}{dt} = x^3+x$$

va a

$$\frac{dx}{x(1+x^2)} = dt$$

Ahora usando fracciones parciales para integrar el lado izquierdo: $$\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{1+x^2}$$

La solución para que a, B, C: $1 = A(1+x^2) + (Bx+C)x$, y utilizando el coeficiente de coincidencia, llego $A=1, B=-1, C=0$.

Por lo que la integral se obtiene: $$\int\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}dx = \int dt$$

Este se obtiene: $$\ln x -\frac{1}{2}\ln(1+x^2) =t + C$$

Así que he intentado usar el registro de reglas y tal para resolver por $x$. Creo que aquí es donde mi fuente de error es.

Mi intento:

$$\ln x - \ln(1+x^2)^\frac{1}{2} = t+C$$ $$\ln\frac{x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}} = t + C$$ $$\frac{x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}= Ce^t$$

Pero esto no parece correcto. Me disculpo de antemano si es un tonto error que no me vea.

Answer 1

Suponga que $x\ge 0$.

$$\frac{x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}= \frac{\sqrt{x^2}}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}$$ y usted probablemente puede tomar desde allí.

Si $x<0$, $x=-\sqrt{x^2}$ y proceder de manera similar.

Answer 2

Usted debe obtener $$ C^2e^{2t}=\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac1{1+x^2},$$ por lo tanto $$ x=\pm\sqrt{\frac{1}{1-C^2e^{2t}}-1}.$$

Answer 3

Un enfoque alternativo viene por escrito a la educación a distancia como $$ \frac{dx}{dt}-x=x^3, $$ demostrando que es una ecuación diferencial de Bernoulli. Esto puede ser transformado a un lineal de la educación a distancia con la sustitución de $u=x^{1-3}=x^{-2}$.

Esta sustitución se da $$ -2\frac{du}{dt}-u=1, $$ que puede resolverse con el uso regular de primer orden de las técnicas.