¿Qué es la amplitud del decaimiento y por qué se da en unidades de energía?

Question

Estoy leyendo Thomson, Modern Particle Physics, y en el capítulo 16 el autor dice que el ancho de decaimiento del bosón Z es $\Gamma_Z =2.452 \pm 0.0023 \,\mathrm{GeV}$ . También dice que la anchura total del decaimiento es la suma de las anchuras parciales, $$\Gamma_Z=\Gamma_{ee} +\Gamma_{\mu\mu} +\Gamma_{\tau\tau} +\Gamma_\mathrm{hadrons} +\Gamma_{\nu_e \nu_e} +\Gamma_{\nu_\mu \nu_\mu} + \Gamma_{\nu_\tau \nu_\tau},$$ Pero todavía me cuesta entender el lenguaje aquí. Mis preguntas son:

1. ¿Qué queremos decir con el ancho de decaimiento ?

2. ¿Por qué se da en unidades de energía (en lugar de una fracción de segundo, por ejemplo)?

Sé que estas preguntas pueden sonar muy ingenuas, pero quiero asegurarme de que entiendo lo básico de la terminología.

Answer 1

Al igual que @DavidZ me ha parecido una muy buena pregunta, pero a diferencia de él no soy un físico profesional, por lo que intentaré responder a la pregunta a un nivel simplista que puede no convenir a @Martin, ya que no conozco el nivel en el que trabaja, pero dado que está leyendo el libro de Thomson debe ser bastante avanzado.

Comienzo con la ley de desintegración de Rutherford y Soddy que establece que la tasa de desintegración $\dot N(t)$ de una partícula inestable (o núcleo) en un momento dado $t$ es proporcional al número de esas partículas que están presentes $N$ en ese momento $t$ .

$$\dfrac {dN}{dt} = \dot N(t) = \propto N(t) \Rightarrow \dot N = - \lambda N$$

donde $\lambda$ es la constante de decaimiento.

Ahora es frecuente que haya más de un modo de decaimiento y para cada uno de los modos de decaimiento hay una constante de decaimiento correspondiente, por lo que ahora hay que escribir que la tasa de decaimiento depende de la suma de todos los modos de decaimiento.

$$ \dot N_{\text{all}} (t) = -\lambda_A N(t) -\lambda_B N(t)-\lambda_C N(t) - . . . . .$$

donde $\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C$ etc. son las constantes de desintegración para los distintos modos de desintegración.

De esto se obtiene $\dot N_{\text{all}} = - \lambda_{\text{all}} N$ donde $\lambda_{\text{all}} = \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C+ . . . . $

Así que esa partícula en desintegración tiene una constante de desintegración que es la suma de las constantes de desintegración de todos los modos posibles de desintegración.
En el momento de la desintegración, la partícula que decae elige un modo particular de desintegración y la probabilidad de dicha desintegración se expresa como fracción de ramificación o ratio de ramificación.

La vida media de una partícula inestable $\tau$ está relacionada con la constante de desintegración $\tau = \dfrac 1 \lambda$ .

Tal y como se comenta en Tiempos de vida de las partículas a partir del principio de incertidumbre El principio de incertidumbre en la forma $\Delta E \Delta t > \hbar/2$ sugiere que para las partículas con tiempos de vida extremadamente cortos, habrá una incertidumbre significativa en la energía medida".

Cuando se realizan mediciones de la energía en masa en reposo de una partícula inestable sin errores de los instrumentos se obtiene una gráfica del siguiente tipo.

La anchura de dicha distribución de energías de masa se denomina anchura de desintegración $\Gamma$ y se mide en unidades de energía.

La anchura del decaimiento está relacionada con la incertidumbre en la energía de la siguiente manera.

$$\Gamma = 2 \Delta E = \dfrac \hbar \tau = \hbar \lambda$$

donde $\lambda$ es la constante de decaimiento.

Sin embargo, el bosón Z tiene muchos modos de desintegración, por lo que esta ecuación debería escribirse como $\Gamma_{\text{all}} = \hbar \lambda_{\text{all}}$

Recordando que $\lambda_{\text{all}} = \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C+ . . . . $ conduce a la expresión

$$\Gamma_{Z,\text{all}}=\Gamma_{ee} +\Gamma_{\mu\mu} +\Gamma_{\tau\tau} +\Gamma_{hadrons} +\Gamma_{v_e v_e} +\Gamma_{v_\mu v_\mu} +\Gamma_{\tau \tau},$$

donde se enumeran los distintos modos de desintegración del bosón Z.

A continuación, se realizan múltiples experimentos para investigar los modos de desintegración y su probabilidad.

Todos estos datos experimentales se comparan luego con los datos teóricos que se basan en el Modelo Estándar y se ha comprobado que los acuerdos son muy buenos con un alto grado de precisión.
La precisión con la que se realiza el trabajo experimental puede medirse por una de las siguientes razones Diapositivas del profesor Thomson y esto es utilizando el antiguo acelerador del CERN.

Entrar en ancho de decaimiento en el motor de búsqueda de este sitio web también es de lo más esclarecedor.

Answer 2

Intentaré ampliar la gran respuesta de @Farcher y explicar el papel de la amplitud del decaimiento en la teoría cuántica de campos (como siempre, pondré $\hbar=c=1$ ).

La función de onda de una partícula estable oscila con una frecuencia que, en su marco de reposo, viene dada por su masa $$\psi(t) \propto e^{-i p_\mu x^\mu } = e^{-i( E t - \vec{p}\cdot\vec{x})} = e^{-iMt}$$

Pero una partícula inestable decae, y por tanto la probabilidad de encontrar la partícula disminuirá exponencialmente según la constante de decaimiento $\lambda$ o la amplitud del decaimiento $\Gamma$ : $$\psi(t) \propto e^{-iMt} e^{-\Gamma t/2} = e^{-i(M-i\Gamma/2)t}\ ,$$ $$P(t) = |\psi(t)|^2 \propto e^{-\Gamma t} $$ En este sentido, se puede decir que una partícula inestable tiene una "masa compleja" $M' = M-i\Gamma/2$ donde la parte imaginaria es la amplitud del decaimiento. Está claro que la anchura de desintegración debe tener unidades de masa=energía (recordemos que $c=1$ ).

En la teoría cuántica de campos, un objeto esencial es el propagador, que es la probabilidad de amplitud para la propagación de la partícula desde el punto espacio-temporal $x$ a $y$ . Para una partícula libre y estable (y escalar, para simplificar), el propagador es $$\Delta(x-y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-M^2}$$ mientras que la de una partícula inestable será $$\Delta(x-y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-(M-i\Gamma/2)^2}\approx \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-M^2+i\Gamma M}$$ La amplitud de la probabilidad de la desintegración viene dada por la transformada de Fourier de este propagador (también conocido como propagador en el espacio del momento), y la probabilidad por su valor absoluto al cuadrado: $$P \propto \left|\frac{1}{E^2-M^2+i\Gamma M}\right|^2 = \frac{1}{(E^2-M^2)^2+\Gamma^2 M^2}$$ que es la célebre distribución de Breit-Wigner, donde $\Gamma$ es la anchura de la distribución a media altura.

Answer 3

He pensado que el candidato y otros podrían encontrar útiles algunas informaciones generales sobre la relación entre las tasas de desintegración y las anchuras, ya que, como señala David Z, esta información básica es a veces difícil de encontrar en los libros de texto.

Respuesta práctica

Cuando una determinada partícula tiene una vida empírica conocida $\tau$ es habitual asignarle una "anchura" $$\Gamma=\frac{\hbar}{\tau},$$ que, además de la constante dimensional $\hbar$ no es más que la tasa de desintegración de la partícula.

Puede sonar reduccionista, pero creo que esta definición es casi todo lo que se necesita para entender la mayoría de los textos de introducción a la Física de Altas Energías (HEP), que a menudo se centran en los aspectos experimentales más que en el análisis teórico, bastante complicado, de los procesos HEP.

Tratar con tasas de decaimiento es mucho más práctico, porque en presencia de varios canales de decaimiento, como en la reacción que escribiste, la tasa total de decaimiento es, por supuesto, la suma de las tasas en cada canal individual. La ecuación que has citado significa que la tasa total de desintegración del $Z$ es la suma de las tasas de desintegración en el canal $e ^+ e ^-$ , $\mu ^+ \mu ^-$ etc

Anchuras de desintegración en espectroscopia

Consideremos un átomo en su primer estado excitado $\vert e \rangle$ , que decae a su estado básico $\vert g\rangle$ emitiendo un fotón con una energía aproximada $\hbar \omega \approx E_e - E_g$ . La teoría de perturbación de primer orden da: $$\hbar \omega = E_e - E_g \qquad \text{(strict equality)}$$ y $$\frac{1}{\tau}=\dfrac{2\pi}{\hbar}\overline{\vert V_{fi} \vert ^2} \rho _f (E_g),$$ donde $\rho _f$ es la densidad de estados finales, es decir, la densidad de estados fotónicos con energía $\hbar \omega = E_e-E_g$ .

Superando la teoría de la perturbación de primer orden, como originalmente demostró Weisskopf y Wigner muestra que la distribución de energía del fotón emitido no es una distribución de Dirac $\delta$ sino (con una muy buena aproximación, correcta hasta el segundo orden, creo) una distribución Breit-Wigner: $$f(\hbar \omega)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac {\frac{\Gamma}{2}}{(\hbar \omega - E_e -E_g)^2 + (\frac{\Gamma}{2})^2},$$ donde $\Gamma= \frac{\hbar}{\tau}$ . Esto da una interpretación del término "anchura", ya que $\Gamma$ es la anchura máxima a la mitad de la anchura máxima de $f$ . Además, el resultado puede interpretarse diciendo que el estado inicial, $\text{“atom in excited state + no photons"}$ tiene una incertidumbre en la energía igual a $\Gamma$ que se refleja en la incertidumbre de la energía del fotón en el estado final.

Anchura de las líneas y decaimiento exponencial

Consideremos un sistema cuántico con un hamiltoniano $H=H_0 + V$ . $V$ es, como siempre, la perturbación.

En general, se puede demostrar (véase, por ejemplo, que Sakurai "Ancho de línea natural y desplazamiento de línea") que la amplitud de probabilidad para un sistema preparado en un estado inestable $\vert i \rangle$ en $t=0$ para permanecer en el mismo estado es, para tiempos suficientemente grandes: $$\langle i \vert \Psi (t)\rangle = \exp [-i\,\frac {E_i}{\hbar} t -i\frac{\Delta _i}{\hbar}t], \qquad (1)$$ donde $$\Delta _i = V_{ii} + \text P. \sum _{m \neq i}\dfrac {\vert V_{mi}\vert ^2}{E_i -E_m}- i\pi \sum _{m\neq i} \vert V_{mi}\vert ^2 \delta (E_i-E_m)+O(V^3). $$

Las sumas sobre estados anteriores son formales, sólo tienen sentido en el límite de un espectro continuo en $E=E_i$ como en el caso de la descomposición del átomo (nótese que en este caso el "sistema" no es sólo el átomo, sino el compuesto átomo+campo).

La parte imaginaria de $\Delta _i$ , que es sólo el $\frac{\Gamma}{2}=\frac{\hbar}{2\tau}$ dado por la teoría de perturbación de primer orden, da un decaimiento exponencial para el estado inestable. Supongamos que un estado $\vert i \rangle$ se satisface: $$\langle i \vert e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\vert i \rangle =e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t-\frac{\Gamma}{2\hbar}t}.$$ Si ampliamos $ \vert i \rangle$ en la base del exactamente estados propios de energía de $H=H_0 +V$ suponiendo, como en el caso anterior, un espectro continuo: $$\vert i \rangle =\intop \text d E \, g(E)\vert E \rangle, $$ obtenemos: $$\intop \vert g (E)\vert ^2 e^{-i\frac {E}{\hbar}t}\text d E =e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t -\frac{\Gamma}{2\hbar }t}.$$ Esto es coherente con $$\vert g(E) \vert ^2 = \frac{1}{\pi}\dfrac{ \frac{\Gamma}{2}}{(E-E_0)^2+(\frac{\Gamma}{2})^2}.$$ En sentido estricto, la fórmula de Breit-Wigner para $\vert g(E)\vert ^2$ seguiría exactamente sólo si la condición: $$\langle i \vert e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\vert i\rangle=e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t-\frac{\Gamma}{2\hbar}\vert t \vert } $$ fue satisfecha por todos $t\in \mathbb R $ . Nunca he hecho teoría de perturbación hacia atrás, pero estoy asumiendo que el resultado (1) también es válido para $t<0$ con $-\Gamma t$ sustituido por $-\Gamma \vert t\vert = +\Gamma t$ . Comprobaré mejor este punto cuando tenga algo de tiempo.

Cosas relacionadas

Aquí hay un par de cosas que están relacionadas con $\Gamma \tau = \hbar$ pero que no quiero comentar aquí porque no estoy muy preparado sobre ellos y también porque temo salirme del tema.

1. Anchura de una resonancia . En varias situaciones, la sección transversal de un proceso dado, en función de la energía, tiene la forma aproximada de Breit-Wigner. Además, la anchura $\Gamma$ está relacionado con la vida media $\tau$ de la resonancia a través de $\Gamma \tau = \hbar $ . Para algunas discusiones elementales, sugiero Baym y Gottfried .
2. Relación de incertidumbre tiempo-energía . Hay varios posts en Phys.SE que discuten la llamada "relación de incertidumbre tiempo-energía", por ejemplo. este y este . También recomiendo este breve documento por Joos Uffink.