La convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^{1+1/n}}$

Question

¿La serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^{1+1/n}}$$ convergen absolutamente, converge condicionalmente, o divergen?

He tratado de aplicar el test del cociente y de la raíz de la prueba, y en ambos casos el límite es de $1$, así que no se puede concluir nada.

Answer 1

Esta serie no converge absolutamente, por el límite de la prueba de comparación

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1/n^{1+1/n}}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{1/n}} = 1 $$

con la divergencia de la serie armónica $\sum \frac{1}{n}$.

Pero ya

$$ \frac{1}{n^{1+1/n}} = \frac{1}{n} \exp\left( - \frac{\log n}{n} \right) = \frac{1}{n} + O\left(\frac{\log n}{n^2} \right), $$

la serie converge condicionalmente señalando que

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{1+1/n}} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \left( \frac{1}{n} + O\left(\frac{\log n}{n^2} \right) \right), $$

que es una suma de dos convergente la serie. Esta es mi estilo favorito de argumento para probar que una corriente alterna de la serie las complicadas término converge.

Si usted se siente incómodo con el Big-Oh notación, a continuación, considere la función

$$ f(x) = x^{-1-\frac{1}{x}} = \exp\left( - \frac{x+1}{x}\log x \right). $$

Luego por la diferenciación logarítmica,

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{x+1-\log x}{x^2} < 0 $$

para un gran $x$ e lo $f(x)$ es un valor no negativo función decreciente. Ya que es inmediato que $f(x) \to 0$ s $x \to \infty$, la conclusión se deduce de la alternancia de la serie de prueba de que

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{1+1/n}} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} f(n) $$

converge.

Answer 2

La serie converge condicionalmente. Porque $$ \frac1{n^{1+1/n}}\leq\frac1n\to0, $$ y así tenemos una corriente alterna de la serie con el término general que se va a cero (Criterio de Leibnitz). Edit: como bien lo señaló en los comentarios, Leibnitz criterio requiere de nosotros para comprobar la monotonía. Esto se puede hacer mirando la derivada de $f(t)=1/(t^{1+1/t})$. Tenemos $$ f'(t)=\frac1{t^3}\,e^{-\frac1t\log t}\,(-t+\log t -1). $$ Como los factores que están fuera de los corchetes son positivos para $t>0$, y el factor entre paréntesis es negativo para todos los $t>0$, obtenemos que $f$ está disminuyendo, y así es la secuencia.

La serie no converge absolutamente. Porque $$ \sum_n\frac1{n^{1+1/n}}=\sum_n\frac1n\,\frac1{n^{1/n}}>e^{-1/2}\,\sum_{n\geq n_0}\frac1n=\infty $$ Tenga en cuenta que $n^{-1/n}=e^{-\frac1n\,\log n}\to1$. Fix $n_0$ tal que $\frac1n\,\log n<1/2$ todos los $n\geq n_0$ ($n_0$ es muy pequeña, pero eso no importa). Entonces, para todos los $n\geq n_0$, $$ \frac1{n^{1/n}}=n^{-1/n}=e^{-\frac1n\log n}>e^{-1/2} $$