Demostrar $\binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k\pmod p$

Question

Probar que si $p$ es una extraña primer y $k$ es un número entero de satisfacciones $1\leq k \leq p-1$,entonces el coeficiente binomial
$$\binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k\pmod p$$

He intentado cosas básicas como la expansión de la mano izquierda a$\frac{(p-1)(p-2).........(p-k)}{k!}$, pero no podía conseguir lo suficiente.

Answer 1

Sugerencia: $(p-1)(p-2)\cdots(p-k)\equiv(-1)(-2)\cdots(-k)$ porque $p\equiv 0$.

Answer 2

Sugerencia: Para los primeros impares primos $p$, anote el $p$th fila del Triángulo de Pascal modulo $p$; te darás cuenta de un patrón que debe ser sencillo de probar. Ahora el uso de la relación $$\binom{p-1}{k-1}+\binom{p-1}{k}=\binom{p}{k}$$ y una inducción argumento.

Answer 3

Recordar que tenemos $(x + 1)^p \equiv x^p + 1 \bmod p$. El anillo de $\mathbb{F}_p[x]$ es una parte integral de dominio, por lo que podemos dividir y de ello se sigue que $$(x + 1)^{p-1} \equiv \frac{x^p + 1}{x + 1} \equiv x^{p-1} - x^{p-2} \pm ... - x + 1 \bmod p.$$