Sistema de 4 ecuaciones de cuarto grado

Question

\begin{align*}a &=\sqrt{4+\sqrt{5+a}},\\ b &=\sqrt{4-\sqrt{5+b}},\\ c &=\sqrt{4+\sqrt{5-c}},\\ d &=\sqrt{4-\sqrt{5-d}}.\end{align*} Calcular $abcd$.

Puedo configurar cada uno como un cuarto grado y consiguió $a^4-8a^2-a+11=0$ y ecuaciones similares para $b,c,d$, pero soy incapaz de averiguar cómo dar formato a las raíces como un producto de todos ellos. Podría alguien darme un poco de un toque? Gracias.

Answer 1

Tenemos que $a$, $b$, $-c$ y $-d$ son distintas raíces del polinomio $$x^4-8x^2-x+11.$$ Por lo tanto, $$x^4-8x^2-x+11=(x-a)(x-b)(x+c)(x+d)$$ así $$abcd=11.$$

Answer 2

Observe que $a, b, c, d$ son las raíces de la ecuación

$$(x^2 - 4)^2 = 5 + x$$

$$x^2 - 4 = \pm\sqrt{5 + x}$$ $$x^2 = 4 \pm \sqrt{5 + x}$$ $$x = 4 \pm \sqrt{5 + x}, -(4 \pm \sqrt{5 + x})$$ $$x = 4 \pm \sqrt{5 + x}, 4 \pm \sqrt{5 - x}$$

Ahora, la ecuación de cuarto grado correspondiente a la primera ecuación es, como han expandido,

$$x^4 - 8x^2 - x + 11 = 0$$

Por Vieta Fórmulas, el producto de las raíces ($a, b, c, d$) está dada por

$$abcd = (-1)^4\frac{11}{1} = 11$$