Detalle en la prueba de que cohomología de gavilla = cohomología singular

Question

Teorema: Si $X$ es localmente contractible, entonces la cohomología singular $H^k(X,\mathbb{Z})$ es isomorfa a la cohomología de la gavilla $H^k(X, \underline{\mathbb{Z}})$ de la gavilla de enteros localmente constante en $X$ .

Para demostrarlo, he visto que varias fuentes proceden más o menos del mismo modo:

• Sea $\tilde{\mathcal{S}}^k$ sea la sheafificación de la prehoja $\mathcal{S}^k$ de co-cadenas singulares en $X$ . Entonces $\underline{\mathbb{Z}} \to \tilde{\mathcal{S}}^0 \to \tilde{\mathcal{S}}^1 \to \dotsb$ es un complejo de láminas. Es exacto porque $X$ es localmente contractible. Las láminas $\tilde{\mathcal{S}}^k$ puede demostrarse que es flácida, y por tanto acíclica. Por tanto, la homología del complejo $\tilde{\mathcal{S}}^\bullet(X)$ es sólo $H^\bullet (X, \underline{\mathbb{Z}})$ .
• Para cada $k$ , $\tilde{\mathcal{S}}^k(X) \cong \mathcal{S}^k(X)/\mathcal{S}^k(X)_0$ donde $\mathcal{S}^k(X)_0 \subset \mathcal{S}^k(X)$ son esas cadenas $\sigma$ para la que existe una cubierta abierta $\mathcal{U}$ de $X$ para que $\sigma(s) = 0$ siempre que $s$ es un simplex singular que se encuentra completamente en uno de los conjuntos de $\mathcal{U}$ .
• $\mathcal{S}^\bullet(X) \to \mathcal{S}^\bullet(X)/\mathcal{S}^\bullet(X)_0$ es una equivalencia homológica.

Es en el segundo paso donde encuentro problemas**. Consideremos el mapa de sheafificación $\mathcal{S}^k \xrightarrow{\mathrm{shf}} \tilde{\mathcal{S}}^k$ . Me siento cómodo con el hecho de que el núcleo de $\mathcal{S}^k(X) \xrightarrow{\mathrm{shf}_X} \tilde{\mathcal{S}}^k(X)$ es $\mathcal{S}^k(X)_0$ . Pero, ¿por qué el mapa debe ser suryectivo?

Posibles razones:

1. El mapa de sheafificación es suryectivo en secciones globales si $X$ es paracompacta y la prehoja satisface la axioma de encolado (prueba aquí ). Ciertamente $\mathcal{S}^k$ satisface el axioma de encolado. Pero $X$ es meramente localmente contractible, lo que no implica paracompacto. (Un contraejemplo es una suma topológica de incontables copias de $\mathbb{R}$ .) ( Edita: Eric Wofsey señala que éste no es el contraejemplo adecuado. La línea larga funciona).
2. Considere la prueba que se ofrece a continuación ( fuente original ):

No veo cómo concluyen que $\tilde{\beta}_i(\alpha) = \tilde{\beta}_j(\alpha)$ . Sabemos que $\tilde{\beta}_i$ y $\tilde{\beta}_j$ tienen los mismos gérmenes $V_i \cap V_j$ pero eso no implica que sean la misma cadena (porque $\mathcal{S}^k$ no es un monorreja ).

Hasta ahora no he podido averiguarlo. ¿Alguien tiene alguna idea?

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**Aunque al demostrar que $\tilde{\mathcal{S}}^k$ son flácidos, se supone que el mapa de sheafificación es suryectivo, y eso es con lo que tengo un problema en la parte 2.

Answer 1

Para profundizar en el comentario de Dmitri Pavlov, sus preguntas han sido respondidas en un artículo reciente de Yehonatan Sella . Sella da un ejemplo (Ejemplo 0.3) de un espacio localmente contractible $X$ para lo cual $\mathcal{S}^k(X) \xrightarrow{\mathrm{shf}_X} \tilde{\mathcal{S}}^k(X)$ no es suryectiva. El espacio de Sella tiene $5$ puntos, y el argumento de que $\mathrm{shf}_X$ no es suryectiva explota fuertemente la naturaleza no Hausdorff del espacio. No me queda claro si se puede obtener un contraejemplo que sea Hausdorff.

He aquí un contraejemplo diferente del que da Sella (pero basado en la misma idea) que creo que demuestra más claramente lo que ocurre geométricamente. Tomemos $X=\mathbb{R}\cup\{0'\}$ sea la línea con dos orígenes, por lo que las vecindades de $0'$ parecen barrios de $0$ excepto con $0$ sustituido por $0'$ . Defina $1$ -cadenas $\beta_0$ en $U=X\setminus\{0'\}$ y $\beta_1$ en $V=X\setminus\{0\}$ como sigue. Definir $\beta_0=0$ . Defina $\beta_1(\alpha)=0$ para cualquier $1$ -simplex $\alpha$ a menos que $\alpha$ es la trayectoria lineal desde $\epsilon$ a $2\epsilon$ para algunos $\epsilon>0$ en cuyo caso $\beta_1(\alpha)=1$ . Obsérvese que cualquier punto de $U\cap V=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ tiene una vecindad que no contiene $[\epsilon,2\epsilon]$ para cualquier $\epsilon>0$ y así $\beta_0$ y $\beta_1$ acordar localmente $U\cap V$ . Sin embargo, no hay $1$ -cadena $\beta$ en $X$ que coincide con $\beta_0$ en un barrio de $0$ y que también concuerda con $\beta_1$ en una vecindad de $0'$ ya que tales vecindarios contendrían $[\epsilon,2\epsilon]$ para todo lo suficientemente pequeño $\epsilon$ .

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Después de mostrar este contraejemplo, Sella da una prueba alternativa de que la cohomología singular concuerda con la cohomología de gavilla que sólo requiere que el espacio sea localmente contractible (o incluso sólo semilocalmente contractible, lo que significa que hay una base de conjuntos abiertos $U$ tal que el mapa de inclusión $U\to X$ es nulohomotópico). La idea es que en lugar de tomar el cociente de la prehoja $\mathcal{S}^k/\mathcal{S}^k_0$ que, como se ha visto anteriormente, puede no ser una gavilla, se toma un cociente de presheaf más pequeño $\mathcal{C}^k$ . Este cociente $\mathcal{C}^k$ puede demostrarse que es una gavilla, y todavía forma una resolución flasque de la gavilla constante y tiene la misma cohomología en secciones globales que $\mathcal{S}^k$ .

Este es el motivo de la construcción, si lo he entendido bien. La razón por la que es difícil demostrar que $\mathcal{S}^k/\mathcal{S}^k_0$ es una gavilla es que la relación de equivalencia en co-cadenas es demasiado débil. Dos co-cadenas son equivalentes si coinciden cuando se restringen a alguna vecindad de cada punto. Sin embargo, la restricción a una vecindad de un punto sigue implicando un montón de símplices que no pasan por ese punto, por lo que estas condiciones "locales" en diferentes puntos interactúan entre sí y son difíciles de satisfacer simultáneamente en todos los puntos. Esto es lo que ocurre con el contraejemplo anterior: no se puede pegar $\beta_0$ y $\beta_1$ porque las restricciones de ser localmente igual a $\beta_0$ en $0$ y localmente igual a $\beta_1$ en $0'$ interfieren entre sí.

Para solucionarlo, Sella define una relación de equivalencia más fuerte en las co-cadenas que hace que la "igualdad local" en diferentes puntos sea independiente entre sí. Simplificando un poco, declara dos co-cadenas $\beta,\beta'\in\mathcal{S}^k(U)$ son equivalentes si para cada $x\in U$ hay un barrio $V$ de $x$ tal que $\beta(\alpha)=\beta'(\alpha)$ para todos los símplices $\alpha$ que figuran en $V$ y tienen baricentro $x$ . Si omitieras la condición de baricentro, esto sería simplemente equivalencia mod. $\mathcal{S}^k(U)_0$ . Obsérvese que esta condición baricéntrica significa que para satisfacer esta condición local en un punto $x$ solo te importan las simplices con baricentro $x$ que no afectan a la condición local en ningún otro punto.

A continuación, Sella define $\mathcal{C}^k(U)$ sea el cociente de $\mathcal{S}^k(U)$ por esta relación de equivalencia (en realidad, utiliza una relación de equivalencia más complicada para que esta construcción sea compatible con la operación de coborde en las co-cadenas, pero no importa). Dada la independencia de las condiciones locales en distintos puntos, es fácil demostrar que $\mathcal{C}^k$ es una gavilla (para pegar secciones compatibles, basta con definir una co-cadena cuyo valor en las símplices con baricentro $x$ viene dado por el germen de una de sus secciones en $x$ ). Entonces no es difícil demostrar que estas gavillas forman una resolución flasque de la gavilla constante. Lo difícil es demostrar que $\mathcal{C}^\bullet(X)$ sigue teniendo la misma cohomología que $\mathcal{S}^\bullet(X)$ y esto es lo que ocupa la mayor parte del documento de Sella.

(Descargo de responsabilidad: no he leído detenidamente el artículo de Sella, y lo anterior es sólo la impresión de las ideas principales que me ha dado una lectura superficial).