La pregunta es: Hay una plaza tablero de dardos con una longitud lateral de $2$m, y un dardo tiene la misma probabilidad a la tierra en cualquier lugar del tablero. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo de la tierra más cerca del centro que en los bordes? Así que yo sé que si me centro de la plaza, en el origen, tengo que encontrar a $f(x)$ de manera tal que cada punto en $f(x)$ es equidistante entre el origen y la línea de $x=1$ o $y=1$ (solo estoy trabajando con el primer cuadrante, ya que por la simetría de la probabilidad debe ser el mismo). Otra suposición razonable de que he hecho es que $f(x)$ es reflejada de más de $y=x$, por lo que sólo tiene que trabajar con la primera $45$ grados en el primer cuadrante. Así que para encontrar $f(x)$ me hicieron la siguiente: $\sqrt{x^2+[f(x)]^2}=1-x$, lo $f(x)=\sqrt{1-2x}$. Ahora sé que acabo de encontrar el área bajo la curva y se divide por $1/8$ la zona de la plaza para encontrar la probabilidad. Yo sólo quería saber si mi $f(x)$ estaba bien? Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Su proceso de pensamiento se ve bien, pero la integración es realmente un poco difícil. Aquí está su diana:
Nos gustaría calcular el área del centro de la forma, y como dices, podemos dividir esta en ocho partes de igual área. Aquí vemos a los dos sectores en el primer cuadrante:
Vamos a calcular el área de la rebanada de$45^{\circ}$$90^{\circ}$:
$$\int_{0}^{\sqrt{2}-1}(\frac{1-x^2}{2}-x)dx=\frac{1}{6}(4\sqrt{2}-5)$$
Multiplicando esto por $8$ nos da el área del centro de la forma. A continuación, dividimos por $4$, el área de la diana. La probabilidad final es entonces:
$$\frac{1}{3}(4\sqrt{2}-5)\approx.2190$$
A juzgar por nuestra imagen de arriba, parece que este a la derecha. El centro forma es acerca de $1/5$ de la superficie del tablero.
