Una integral definida, $\int_0^\infty\frac{2-\cos x}{\left(1+x^4\right)\,\left(5-4\cos x\right)}dx$

Question

Necesito encontrar un valor de esta integral definida: $$\int_0^\infty\frac{2-\cos x}{\left(1+x^4\right)\,\left(5-4\cos x\right)}dx.$$ Su valor numérico es de aproximadamente $0.7875720991394284$, y búsquedas en Inversa Simbólico de la Calculadora Plus y WolframAlpha no devolver un plausible de forma cerrada candidato.

¿Tiene usted alguna idea de cómo puedo enfocar este problema?

Answer 1

Sí, hay una elemental forma cerrada para esta integral: $$\int_0^\infty\frac{2-\cos x}{\left(1+x^4\right)\,\left(5-4\cos x\right)}dx=\frac{\pi}{2\,\sqrt2}\cdot\exp\left(\frac1{\sqrt2}\right)\cdot\frac{\sin\left(\frac1{\sqrt2}\right)-\cos\left(\frac1{\sqrt2}\right)+2\,\exp\left(\frac1{\sqrt2}\right)}{1-4\,\exp\left(\frac1{\sqrt2}\right)\cos\left(\frac1{\sqrt2}\right)+4\,\exp\left(\sqrt2\right)}\tag1$$

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Prueba:

Nos deja denotar la integral en cuestión como $$\mathcal{I}=\int_0^\infty\frac{2-\cos x}{\left(x^4+1\right)\,\left(5-4\cos x\right)}dx\tag2$$ Tenga en cuenta que el trigonométricas parte de el integrando es una función periódica y se puede ampliar a una serie de Fourier con particularmente simple de los coeficientes: $$\frac{2-\cos x}{5-4\cos x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos(n\,x)}{2^{n+1}}\tag3$$ (esto se puede comprobar fácilmente mediante la expresión de los cosenos a través de exponentes de un imaginario argumento).

Ahora podemos integrar plazo-sabio: $$\mathcal{I}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{2^{n+1}}\int_0^\infty\frac{\cos(n\,x)}{x^4+1}dx\right)=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{2^{n+1}}\cdot\frac{\pi}{2\,\sqrt2}\cdot\exp\left(-\frac{n}{\sqrt2}\right)\cdot\left(\sin\left(\frac{n}{\sqrt2}\right)+\cos\left(\frac{n}{\sqrt2}\right)\right)\right)\tag4$$ (para la integral, ver DLMF 1.14, vii, Tabla 1.14.2, $4^{th}$ fila).

Funciones trigonométricas en los últimos suma a su vez puede ser expresada a través de los exponentes de un imaginario argumento, y luego la suma es fácil de evaluar. La conversión de los exponentes de vuelta a funciones trigonométricas y deshacerse de los números complejos, obtenemos el resultado final $(1)$.

Answer 2

Hay una forma alternativa para calcular esta integral w/o una suma de más de $n$ en los pasos intermedios.

Aviso

$$\frac{2-\cos z}{5 - 4\cos z} = \frac12 \left[\frac{(2-e^{i})+(2-e^{-iz})}{(2-e^{i})(2-e^{-iz})}\right] = \frac12\left[\frac{1}{2-e^{iz}} + \frac{1}{2-e^{-iz}}\right] $$ y $\displaystyle\;\frac{1}{1+z^4}$ es una función par, tenemos

$$\mathcal{I} \stackrel{def}{=} \int_0^\infty \frac{2-\cos x}{(1+x^4)(5-4\cos x)} dx = \frac12\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(1+z^4)(2 - e^{i})}dz$$

Desde $\displaystyle\;\frac{1}{2-e^{iz}}$ es todo en la mitad superior del plano $\Im z \ge 0$ y $\displaystyle\;\left|\frac{1}{2-e^{iz}}\right| \le \frac{1}{2-1} = 1$ de allí, podemos completar el contorno de la mitad superior del plano-y

$$\mathcal{I} = \lim_{R\to\infty}\frac12 \oint_{C_R} \frac{1}{(1+z^4)(2 - e^{i})}dz \quad\text{ donde }\quad C_R = [-R, R ] \cup \big\{\; Re^{i\theta} : \theta \[0,\pi]\big\} $$

$\displaystyle\;\frac{1}{1+z^4}$ tiene $4$ polos $\omega_k = e^{\frac{(2k+1)i}{4\pi}}, k = 0..3$ más de $\mathbb{C}$. Dos de ellos $\omega_0 = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ y $\omega_1 = \frac{-1+i}{\sqrt{2}}$ pertenece a la mitad superior del plano -. Desde

$$\frac{1}{1+z^4} = \sum_{k=0}^3 \frac{1}{(z-\omega_k) 4\omega_k^3} = -\frac14 \sum_{k=0}^3\frac{\omega_k}{z\omega_k}$$

El residuo de el integrando en $\omega_k$ $\displaystyle\;-\frac14 \frac{\omega_k}{2 - e^{i\omega_k}}$ para $k = 0, 1$. Esto lleva a

$$\begin{align} \mathcal{I} &= \frac12\left[ -\frac{2\pi i}{4}\left(\frac{\omega_0}{2 - e^{i\omega_0}} + \frac{\omega_1}{2 - e^{i\omega_1}} \right)\right]\\ &= \frac{-\pi i}{4\sqrt{2}}\left( \frac{1+i}{2 - e^{-1/\sqrt{2}} e^{i/\sqrt{2}}} + \frac{-1+i}{2 - e^{-1/\sqrt{2}} e^{-i/\sqrt{2}}}\right)\\ &= \frac{-\pi i}{4\sqrt{2}} \left[ \frac{ (1+i)(2 - e^{-1/\sqrt{2}} e^{-i/\sqrt{2}}) + (-1+i)(2 -e^{-1/\sqrt{2}} e^{ i/\sqrt{2}}) }{ 4 - 4 e^{-1/\sqrt{2}}\cos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + e^{-\sqrt{2}} } \right]\\ &= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \left[ \frac{2 - e^{-1/\sqrt{2}}\left( \cos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \sin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right) }{ 4 - 4 e^{-1/\sqrt{2}}\cos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + e^{-\sqrt{2}} } \right]\\ &= \frac{\pi e^{1/\sqrt{2}} }{2\sqrt{2}} \left[ \frac{2 e^{1/\sqrt{2}} - \left( \cos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \sin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right) }{ 4 e^{\sqrt{2}} - 4 e^{1/\sqrt{2}}\cos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 1 } \right] \end{align} $$ La reproducción de lo que Vladimir obtener en su respuesta.