Una de las respuestas a esta pregunta indica que los grandes cardenales son útiles para ensayos destructivos de la teoría de conjuntos. Aparte de eso, y no asumiendo GCH, hay conjuntos conocidos que tienen una cardinalidad de $\aleph_{n}$, $n>0$, o que de cualquiera de los grandes cardenales? Hay un par de ejemplos de conjuntos que tienen estos cardinalidades en la página de la wikipedia, pero son escasos y pocos en comparación con los ejemplos de la página para Beth cardinalidades.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay muy pocos ejemplos en los que usted directamente demostrar en ZFC que un determinado conjunto debe tener el tamaño de $\aleph_n$. Esto es porque la mayoría de los sistemas que construimos se definen en términos de conjuntos de poder. Esto significa que nosotros podemos calcular el tamaño de estos grupos en términos de ℶ números con bastante facilidad, pero no podemos calcular en términos de ℵ números. La dificultad está relacionada con la unprovability de la hipótesis continua. Resulta que ZFC puede decir muy, muy poco acerca de las cardinalidades de ℶ números.
Una forma de obtener conjuntos de un fijo de la cardinalidad es hablar directamente acerca de los ordenamientos. Por ejemplo, $\aleph_1$ es exactamente el conjunto de los tipos de órdenes de compras de $\omega$ (independientemente de lo $\beth_1$ es).
Para grandes cardenales, no hay manera de calcular explícitamente su cardinalidad. Por ejemplo, cualquier número cardinal inaccesible $\kappa$ tienen la propiedad de que $|\kappa| = \aleph_\kappa$, de modo que usted no será capaz de avanzar tratando de calcular su ℵ número.
