¿Qué sucede con el 0 elemento en un Grupo Finito?

Question

Por lo tanto, estoy volviendo a aprender Teoría de grupos. Y tengo los axiomas, pienso. Así que vamos a hacer un ejemplo concreto:

• La colección de números enteros positivos en menos de 7: 1,2,3,4,5,6
• El • operación será la multiplicación mod 7.
• La asociatividad se mantiene.
• La Identidad e es 1.
• Cada elemento tiene una inversa:
  • 1*? mod 7 = 1 --> 1
  • 2*? mod 7 = 1 --> 4
  • 3*? mod 7 = 1 --> 5
  • 4*? mod 7 = 1 --> 2
  • 5*? mod 7 = 1 --> 3
  • 6*? mod 7 = 1 --> 6

Pero! ¿Cuál es el orden del grupo?! Yo pensaba que el orden sería de 7. Pero hay 6 elementos! Así que tal vez me había equivocado y 0 debe estar en el grupo.

Pero el 0 no tiene inverso! No existe x tal que 0*x mod 7 = 1.

Entonces, ¿qué soy yo malentendido aquí? Es la definición de orden? Es esto algún otro truco acerca de los grupos?

Answer 1

El único error es la creencia de que el fin de "debería" ser de 7. El orden de un grupo finito es el número de elementos en el grupo. Su grupo se compone de los enteros positivos que son más pequeños que, y relativamente primos, 7. Hay seis de ellos, por lo que su grupo ha pedido 6.

(No estoy seguro de por qué se pensaba que el orden debe ser de 7...)

De hecho, usted puede agregar $0$ a la mezcla y aún así tener un grupo. Si se considera el número $0,1,\ldots,6$ bajo la multiplicación modulo $7$ no recibe un grupo, se obtiene un semigroup.

Añadido: Ah, Jonas Meyer respuesta sugiere lo que está ocurriendo, ya que dicen que son un reaprendizaje Grupo de Teoría, usted podría tener vagos recuerdos del "grupo de los enteros modulo $n$ "" como tener el fin de $n$. El grupo de los enteros modulo $n$ bajo, además tiene orden de $n$; pero el grupo multiplicativo modulo $n$ se compone de los enteros positivos menores que, y relativamente primos, $n$, con la operación de multiplicación modulo $n$, y ha $\varphi(n)$ elementos (phi de Euler de la función). Al $n=7$ (en el caso de que usted está mirando), el grupo ha $\varphi(7)=6$ elementos, como la que usted observó.

Answer 2

Un buen pensamiento. 0 no está en el grupo, por lo que el orden es de 6. 0 está en otro grupo en el multiplicativo $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_7$, que es el trivial grupo (un elemento). Los grupos son distintos.

Answer 3

Tienes razón, el grupo tiene orden 6, ya que tiene seis elementos. Usted puede hacer {0,1,2,3,4,5,6} un grupo con la adición mod 7. Este sería un grupo de orden 7.