Estoy tratando de entender intuitivamente la noción de función Lipschitz.
No puedo entender por qué una función acotada no implica una función Lipschitz.
Necesito un contraejemplo o una idea intuitiva para aclarar mi noción de función Lipschitz.
Necesito ayuda
Muchas gracias
Una función de Lipschitz es tal que $$| f (x) -f (y) | \leq \alpha | x-y |$$ para cualquier par de puntos que elijas. Escribiendo esto como $$\left| \frac{f (x) -f (y)} {x-y} \right| \leq \alpha $$
Lo que estamos diciendo es que la pendiente de la recta secante que une $(x, f (x))$ y $(y, f (y))$ siempre está limitada por encima por $\alpha$. Un ejemplo de una función de Lipschitz es $\sin x$, o $x$. Un ejemplo de una función que no es Lipschitz pero está acotada es $$\sin (x^2)$$ sobre $\Bbb R$. Esto se debe a que a medida que nos acercamos a $+\infty$, la oscilación se vuelve más rápida, y por lo tanto la pendiente de las rectas secantes se acerca cada vez más a las verticales.
Un ejemplo de una función que ni es Lipschitz ni está acotada es $\sqrt x$ sobre $\Bbb R_{>0}$. Esto se debe a que si fijamos $x=0$ y hacemos que $y$ sea muy cercano a $0$, la pendiente de la recta secante crece sin límite.
Finalmente, podemos dar un ejemplo de una función que es Lipschitz pero no está acotada: $x + \sin x$ sobre $\Bbb R$. Su pendiente nunca será mayor que $1$.
@PeterOlson Supongamos que $f$ tiene una derivada acotada. Según el Teorema del Valor Medio, para cada $x, y \in \operatorname{dom}f$, ¿a qué se puede igualar $$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$?
Significa que tu función no explota en algún punto, se hace matemáticamente rigurosa.
Esta idea también se puede mostrar geométricamente de esta manera (imagen de wikipedia):
La condición de Lipschitz (o continuidad de Lipschitz) asegura que tu función siempre permanece completamente fuera del cono blanco, por lo que no puede volverse infinitamente empinada en algún punto.
En cuanto a tu imagen: Piensa en la función $sin(1/x)$ (fuente W|A):
Verás que se vuelve infinitamente empinada en el origen (¡y por lo tanto chocaría con el cono blanco!) pero aún así está acotada.
Esta condición se utiliza, por ejemplo, en la teoría de ecuaciones diferenciales donde garantiza la existencia y unicidad de soluciones a ciertos tipos de ecuaciones diferenciales.
Sí, pero en cada función acotada puedo dibujar este tipo de cono (ver la imagen de mi pregunta).
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