La finitud de los grupos de la preservación de una simétrica positiva definida forma bilineal

Question

Esta pregunta surge a partir de la lectura de la nota de Hodge en los ciclos de abelian variedades de P. Deligne (notas de J. S. Milne). Supongamos que tenemos un grupo de $G$ (por ejemplo, un grupo fundamental de la $\pi_1(S, s_0)$ o un grupo de Galois $Gal(k/k_0)$) que actúa sobre una finito dimensionales $\mathbb{Q}$-vectores en el espacio. A mí me parece que el autor concluye que la acción de los factores a través de un subgrupo finito una vez que se sabe que hay un simétrica positiva definida $\mathbb{Q}$valores de forma bilineal en $V$. Por supuesto, esto no es cierto en general (Tome $V=\mathbb{Q}^2$ con la norma interna del producto, por ejemplo). Así que me estoy preguntando ¿qué es el eslabón que falta en mi comprensión de las pruebas. Las pruebas en cuestión son el Teorema 2.15 y (iii) de Propositin 2.9(b). ¿Por qué la acción de los factores a través de subgrupos finitos en esas pruebas?

Answer 1

En el primer caso, la imagen del grupo es, obviamente, un subgrupo discreto de $Aut(V\otimes \mathbb{R})$, por lo tanto, es discreto y compacto. En el segundo caso, el grupo conserva un entramado en $V$, y por lo tanto la imagen es de nuevo, discreto y compacto.