Todas las demás respuestas que dicen que la integral "simple" es simplemente una notación abreviada son correctas, pero es bueno recordar que uno puede efectivamente interpretar la integral como una solo integral como Integral de Lebesgue (si no hace nada más, busque el pequeño y muy bonito resumen de medio párrafo de Lebesgue (en la página Wiki) de su idea en una carta a Paul Montel).
Si no has conocido esto antes, la idea es definir una función que asigne un medir (de "qué tamaño") a ciertos subconjuntos de las dos (o cualquier región dimensional) que se comportan bien. Entonces se construye la suma de las medidas, ponderada por $f$ de todos los subconjuntos que son preimágenes de intervalos $(f,\,f+\Delta f)$ (es decir, subconjuntos en los que el valor de $f$ se encuentra entre ciertos valores) y pasa a ciertos límites de estas sumas como $\Delta f$ se permite tomar cualquier valor positivo para definir la integral.
Una de las ventajas de este enfoque es que el dominio de integración (en este caso un plano bidimensional) no tiene que ser considerado como rebanadas de espacios de menor dimensión pegadas entre sí, lo que conduce a integrales múltiples e iteradas que uno debe abordar con la integral de Riemann. Basta con pensar en una única suma no iterada de medidas de subconjuntos ponderados por el objeto integrado (en este caso $f$ ). Así que en el sentido de Lebesgue $d\,A$ es simplemente la función de medida definida para subconjuntos bidimensionales del plano.
Sin embargo, la integración de Lebesgue sobre las variedades multidimensionales también puede interpretarse como una integral iterada, en este caso, doble, al igual que la integral de Riemann y Teorema de Fubini es, dadas ciertas condiciones sobre $f$ En el caso de la integral de Lebesgue iterada, se trata de que la integral de Lebesgue iterada es igual a la definida pensando en subconjuntos del plano como entidades atómicas: un corolario de esto es que el orden de la integración no es importante (porque las integrales iteradas en cualquier orden son todas iguales a la única multidimensional).
Por supuesto, los dos conceptos de integral, Lebsegue y Riemann, coinciden dadas ciertas condiciones sobre la función integrada. La de Lebesgue es más general: Las integrales de Lebesgue están siempre definidas y son iguales a la integral de Riemann cuando ésta existe, pero lo contrario no es cierto (hay funciones que tienen una integral de Lebesgue, pero no una de Riemann). La integración de Lebesgue es extremadamente importante para la teoría de la probabilidad, donde no siempre es conveniente descomponer un "suceso" (es decir, un subconjunto medible del espacio de sucesos) en uniones de sucesos de "menor dimensión".
