Un espacio topológico $M$ es un colector de dimensión $n\geq 1$ fib es un segundo contables espacio localmente homeomórficos del espacio Euclidiano $R^n$. Así que si $M$ es un colector existe un mapa de $f: M \rightarrow R^n$ tal que $f$ es continua y bijective en ambas direcciones ($f$ $f^{-1}$ ). Ahora permítanme señalar que mientras que la continuidad es una necesaria condición para la diferenciabilidad, no es suficiente. Es decir,incluso si $f$ es continua *no necesita ser diferenciable *.Un buen ejemplo de una función que es continua y diferenciable en todas partes, pero en ninguna parte es la función de Weierstrass. "No-diferenciable" colector me refiero a uno para que cada gráfico en su atlas es continua pero no derivable. O en particular, existe una bijective mapa de $\Phi : M \rightarrow R^n$ tal que $\Phi$ es continua en todas partes en $M$ pero diferenciable en ninguna parte(en $M$). Así que claramente tal cosa puede existir. Cualquiera de los ejemplos de un colector?
Respuesta
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Tu pregunta no es muy correctamente formulado. Si $M$ es general, abstracta colector, la definición de lo que significa para un mapa de $M \rightarrow \mathbb{R}^n$ a ser diferenciable no es inmediata y requiere, de hecho, más de la estructura de $M$ sí (que es la noción de diferencial de la estructura).
Un diferencial de estructura es un (clase de equivalencia) atlas en el que todos los mapas de transición son diferenciables. Esto está bien definido desde mapas de transición se definen en abrir conjuntos de $\mathbb{R}^n$ y no en el colector $M$. Una vez que usted tiene por ejemplo un atlas, tiene sentido decir que una función es diferenciable si es por escrito en cualquiera de las cartas de los atlas es diferenciable.
Cuando digo que es más información de la que $M$, me refiero a que hay ejemplos de colectores $M$ que tienen diferentes estructuras diferenciables, es decir, diferentes atlas de tal manera que un mapa de decir $M$ $\mathbb{R}$puede ser diferenciable al $M$ está equipada con un cierto atlas y no diferenciable al $M$ está equipado con otro atlas. Es posible demostrar que todos los topológica de los colectores de la dimensión de hasta 3 son, de hecho, $C^\infty$ colectores, y que cualquier $C^1$ colector es de hecho una $C^\infty$ colector. Sin embargo, estos resultados son difíciles.
Así las cosas suma : este es un tema complicado. Tu última pregunta no es en realidad un caso especial de tu primera pregunta, la cual debe ser reformulada como "hay topológico colectores que no son lisas, colectores?". También tenga en cuenta que usted no encontrará ningún homeomorphism de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$diferenciable, como tal, un homeomorphism debe ser monótona monotono y mapas puede ser demostrado ser en casi todas partes diferenciables.
ADDENDUM : esto es todos los trucos y artificios. Si usted está interesado en submanifolds en lugar de colectores (que es muy probable que si esta es la primera vez que encuentro ese tipo de preguntas), a continuación, definir la regularidad de un mapa definido en $M$ es mucho más fácil y natural (decir que un mapa es $C^k$ si es que la restricción de un $C^k$ ambiente mapa). Entonces tu pregunta tiene sentido y la respuesta de Tomás es correcta. En efecto, si un mapa de $\phi : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ mapas homeomorphically la gráfica de la función de Weierstrass para el eje real, entonces esta función puede no ser diferenciable en cualquier lugar en el gráfico.
