Realiza las siguientes series convergen:
$$\sum_{n=3}^\infty \frac {1}{(\log n)^{\log(\log(n)}}$$
He intentado de todas las pruebas, yo sé... ¿Alguna idea ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenga en cuenta que $(\log n)^{-\operatorname{loglog} n}=e^{-(\operatorname{loglog} n)^2}$, ya que el $\log n=e^{\operatorname{loglog} n}$.
Para un gran$n$,$(\operatorname{loglog} n)^2\lt \log n$, por lo que para un gran $n$ $n$- ésimo término es mayor que $\frac{1}{n}$.
El hecho de que $(\operatorname{loglog} n)^2$ es finalmente dominado por $\log n$ es sólo el conocido hecho de que $e^x\gt x^2$ de las grandes suficientemente $x$.
Comentario: En el trato con la convergencia de la serie, a menudo, es mejor preguntarse primero: ¿qué tan rápido son los términos que se aproxima $0$? Buscando su lugar para que una prueba de uso tiende a alejarnos de la realidad concreta de la serie.
