¿Por qué es esta función realmente una buena asintótica para $\exp(x)\sqrt{x}$

Question

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\;\;\;\;\; a_n = \frac{1}{\Gamma(n+0.5)}$$

¿Por qué toda esta función realmente una buena asintótica para $\exp(x)\sqrt{x}$, donde los grandes números positivos, $f(x)\exp(-x) \approx \sqrt{x}$?

Como |x| se hace más grande, el término de error es asintóticamente $f(x)-\exp(x)\sqrt{x} \approx \frac{1}{x\cdot\Gamma(-0.5)}$, y el término de error para $f(x)\exp(-x) - \sqrt{x} \approx \frac{\exp(-x)}{x\cdot \Gamma(-0.5)}$. Si tratamos $f(x)$ como un infinito Laurent de la serie, que no convergen.

Me topé con el resultado, el uso de aproximaciones numéricas, así que realmente no puedo explicar la ecuación de la $a_n$ coeficientes, aparte de que parece ser el límite numérico de un pseudo Cauchy de la integral de la $a_n$ coeficientes como el círculo de la integral de Cauchy camino se hace más grande. Sospecho que la fórmula se ha visto antes, y puede ser generado por alguna otra técnica. Por definición, para cualquier función $f(x)$, para cualquier valor de r: $$a_n = \oint x^{-n} f(x) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2\pi} (re^{-ix})^{-n} f(re^{ix}) )\; \mathrm{d}x\;\;$$ La conjetura es que esto es un equivalente a la definición de $a_n$ donde$f(x) \mapsto \exp(x)\sqrt{x}$$x \mapsto re^{ix}$. $$a_n =\lim_{r\to\infty} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2\pi} (re^{-ix})^{-n}\exp(re^{ix})\sqrt{re^{ix}})\; \mathrm{d}x = \frac{1}{\Gamma(n+0.5)} $$

Answer 1

Repite integraciones por partes muestran que, para cada positivos $a$ y $x$, $$\int_0^x\mathrm e^{-t}t^{a-1}\mathrm dt=\Gamma(a)\mathrm e^{-x}\sum_{n\geqslant0}\frac{x^{n+a}}{\Gamma(n+a+1)}.$$ When $x\to\infty$, the LHS converges to $\Gamma(a)$, hence the series in the RHS is equivalent to $\mathrm e^x$. Now, $$\sum_{n\geqslant0}\frac{x^{n}}{\Gamma(n+a)}=\frac1{\Gamma(a)}+x^{1-a}\sum_{n\geqslant0}\frac{x^{n+a}}{\Gamma(n+a+1)}$$ hence $$\sum_{n\geqslant0}\frac{x^{n}}{\Gamma(n+a)}\sim x^{1-a}\mathrm e^x.$$ For $a=\frac12$, este es el resultado mencionado en la pregunta.

Una fórmula exacta utilizando la función gamma incompleta $\gamma(a,\ )$ (es decir, del lado izquierdo de la identidad de la primera en esta respuesta) es $$\sum_{n\geqslant0}\frac{x^{n}}{\Gamma(n+a)}=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)} x^{1-a}\mathrm e^x+\frac1{\Gamma(a)}.$$ Edit: ...Y este método se obtiene la más precisa de expansión, también se menciona en la pregunta, $$\sum_{n\geqslant0}\frac{x^{n}}{\Gamma(n+a)}=x^{1-a}\mathrm e^x+\frac{1-a}{\Gamma(a)}\frac1x+O\left(\frac1{x^2}\right).$$ More generally, for every nonnegative integer $N$ and every noninteger $un$, $$\sum_{n\geqslant0}\frac{x^{n}}{\Gamma(n+a)}=x^{1-a}\mathrm e^x+\frac{\sin(\pi a)}{\pi}\sum_{k=1}^N\frac{\Gamma(k+1-a)}{x^k}+O\left(\frac1{x^{N+1}}\right).$$

Answer 2

De hecho, la historia comienza con la búsqueda de una expansión asintótica de la función

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{\Gamma(n+1/2)}= {\frac {\sqrt {\pi }\,\sqrt {x}{{\rm e}^{x}} {{\rm fer}\left(\sqrt {x}\right)}+1}{\sqrt {\pi }}}$$

el cual es dado por

$$ f(x) \sim \sqrt{x}\, e^{x} $$