Sorprendente, pero simple grupo de teoría resultado en clases conjugacy

Question

He leído que para cualquier grupo $G$ de pedido de $2m+1$ (impar) con $n$ conjugacy clases, es siempre el caso de que $16$ divide el valor de $(2m+1)-n = |G|-n$.

Esto me parece un resultado increíble: lo que en la tierra sería de $16$ tienes que hacer con cada uno de los impares grupo y sus clases conjugacy? En cualquier caso, me pregunto, suponiendo que es cierto, ¿cómo usted va sobre la prueba? Me gustaría mostrar de una manera razonablemente sencilla, pero nada viene a la mente, podría alguien ayudarme? Muchas gracias - M.

Answer 1

El número de clases conjugacy es el mismo que el número de representaciones irreducibles; si $d_i$ es el conjunto de dimensiones de las representaciones irreducibles, sabemos que $d_i | |G|$, por lo tanto $d_i$ es impar, y $|G| = \sum d_i^2$. Desde $d_i$ es impar, se calcula que $d_i^2 \equiv 1, 9 \bmod 16$, por lo que ya se sigue que $|G| \equiv n \bmod 8$. Para obtener el resultado que $\bmod 16$ basta para mostrar que las representaciones tales que $d_i^2 \equiv 9 \bmod 16$ producirse un número par de veces.

De hecho, pretendemos que los no-trivial irrep es auto-dual, de la que el anterior de la siguiente manera (ya que nos puede tomar el doble de una irrep con $d_i^2 \equiv 9 \bmod 16$ para buscar otro). Esto es equivalente a la afirmación de que los no-elemento de identidad es conjugado a su inverso, el cual se deduce del hecho de que ningún elemento de $G$ puede actuar por una permutación de orden dos.

Answer 2

Este clásico teorema de Burnside es a menudo presentated como un ejemplo de un teorema que es difícil de probar sin el uso de teoría de la representación. Sin embargo, uno puede proporcionar la primaria las pruebas de los resultados de este tipo. Por ejemplo, véase Reid: El número de clases conjugacy, AMM, 1998, 359-361, donde, generalizar los resultados en un anterior 1995 AMM papel por Poonen), si $G$ es un grupo finito de tal forma que cada divisor primo p $$ de su orden satisface $p \equiv 1\ (mod\ m)\:,\:$ él demuestra ser el más fuerte posible congruencia entre $|G|$ y $n$. Abajo está la Zbl revisión por R. W. van der Waall (Amsterdam), seguido por Burnside original de la prueba, de S. 222, p.294 de la Teoría de grupos finitos de orden, de 1911.

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Deje que $\cal G$ stand en general para un grupo finito; $p$ para un número primo. Vamos $m\in\mathbb Z_{\geq 1}$. Considerar $${\cal G}_m=\{{\cal G}\ :\ p\mid|{\cal G}|\ \Rightarrow\ p\equiv 1\ (mod\ m)\}.$$ Deje que $B(m)$ ser el máximo común divisor de todos los números $|{\cal G}|-s$, donde $\cal G$ se ejecuta a través de ${\cal G}_m$. Aquí $s$ es el número de clases conjugacy de $\cal G$.

En este trabajo se verifique lo siguiente. Teorema. Si $m >2$, entonces $B(m)$ es la mínimo común múltiplo de $48$ y $2m^2$. $\:$ También $B(2)=16$ y $B(1)=1$.

La prueba de ello es elemental, sin el uso de teoría de la representación. Utiliza los hechos que cada uno de $3, 16$ y $2m^2$ divide a $B(m) us$. El caso de $3\mediados de B(m)$ es demostrado aquí por medios elementales; en el caso de $2m^2\mediados de B(m)$ del mismo modo como se hace por B. Poonen [en Am. De matemáticas. Mon. 102, Nº 5, 440 A 442 (1995; Zbl 0828.11002)]. El hecho de $16\mediados de B(m)$ siguiente $m >2$ de $B(2)\mediados de B(m)$, mientras que Burnside demostrado que $16\mediados de B(2)$ (antes de 1911).

Revisor del comentario: Utilizando la teoría de la representación, Burnside demostrado que si $|\cal G|$ es no extraña, entonces $|\cal G|\equiv s\pmod{16}$. No existe una escuela primaria de la prueba, es decir, sin el uso de teoría de la representación y sin el uso de la Feit-Thompson teorema sobre la solvencia de los grupos finitos de orden impar? Un resultado por K. A. Hirsch en esa dirección parece ser injustificada.

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