Mostrar que $ \sum_{n\in \mathbb {S}} \frac{1}{n} $ es convergente

Question

Deje $\mathbb {S} =\left \{ 1,2,3,...,9,11,12,...,19,21,...99,111,112,113... \right \} $ yo.e, el conjunto de enteros positivos que contienen dígito cero se omite.

Ahora muestran que $ \sum_{n\in \mathbb {S}} \frac{1}{n} $ es convergente .

Yo realmente no tienen ni idea acerca de cómo probar esto

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{eqnarray} \sum_{n\in \mathbb{S}\cap\{10^n, \cdots, 10^{n+1}-1\}}\frac{1}{n}<\frac{9^{n+1}}{10^n}\end{eqnarray} a la conclusión de que cualquier suma parcial es limitado y por lo tanto la serie converge.