Si $x\notin\mathbb Q$ entonces $\left|x-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}$ para un número infinito de $\frac{p}{q}$ ?

Question

Esto aparece en el problema 1 del capítulo 1 de la obra de Stein y Shakarchi Análisis real:

Dado un irracional $x$ se puede demostrar (utilizando el principio de la colombofilia, por ejemplo) que hay infinitas fracciones $p/q$ con números enteros relativamente primos $p$ y $q$ tal que $$\left|x-\frac{p}{q}\right|\leq\frac{1}{q^2}.$$ Sin embargo, demuestre que el conjunto de todos los $x\in\mathbb R$ tal que existen infinitas fracciones $p/q$ con números enteros relativamente primos $p$ y $q$ tal que $$\left|x-\frac{p}{q}\right|\leq\frac{1}{q^{3}} \text{ (or} \leq 1/q^{\epsilon+2})$$ es un conjunto de medida cero.

La última parte del ejercicio es fácil utilizando el teorema de Borel-Cantelli. Sin embargo, no tengo ni idea de por qué la primera parte es cierta.

Answer 1

Este es uno de los argumentos clásicos de Dirichlet. Para el real $x$ para cada $m$ en el rango $1\le m\le N+1$ , elija $n=n_m$ para que $mx-n_m\in [0,1)$ es la parte fraccionaria de $mx$ . El $N+1$ opciones de $m$ producir $N+1$ números $mx-n$ en $[0,1)$ . Dividiendo el intervalo en $N$ subintervalos de longitud ${1\over N}$ por el principio de encasillamiento algún subintervalo contiene tanto $mx-n$ y $m'x-n'$ para algunos $1\le m'<m\le N+1$ . Es decir, $$ {1\over N} \;\ge\; |(mx-n)-(m'x-n')| \;=\; |(m-m')x-(n-n')| $$ así que $1\le q=m-m' \le N$ y $p=n-n'$ dar $|qx-p|<{1\over N}\le {1\over q}$ . Multiplicar por $1/q$ .

Answer 2

Mientras tanto, el límite en su primera parte se logra con todos los convergentes en la fracción continua simple para el irracional $x.$ Véase el teorema 5 en http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction#Some_useful_theorems