Teorema de convergencia limitada

Question

Supongamos que $f_n$ es una secuencia de funciones medibles que están todas acotadas por M, soportadas en un conjunto E de medida finita, y $f_n(x)\to f(x)$ a.e. x como $n\to \infty$ . Entonces f es medible, acotada, soportada en E para a.e. x, y $\int |f_n-f|\to 0 $ como $n\to\infty$

Aquí, entiendo que la restricción de que E sea una medida finita se debe a que necesitamos utilizar el teroema de Egorov. Pero ¿cuál es la razón para suponer $f_n$ ¿se puede limitar? Compruebo el teorema de Egorov, no requiere la cuadratura que converge a $f$ para encontrar un conjunto más pequeño que difiera de E por $\epsilon$ y converge uniformemente a $f$ en ese set.

Answer 1

Tome $X = [0,1]$ con medida de Lebesgue. Entonces dejemos que $$f_n = n 1_{[0,\frac{1}{n})}.$$ Entonces $f_n \rightarrow 0$ a.e. Sin embargo para todos $n$ , $$ \int \lvert f_n - 0\rvert = \int \lvert f_n\rvert = 1$$

Answer 2

La respuesta de Deven Ware va en la línea de decir que "la razón para asumir la acotación uniforme es que, de lo contrario, hay contraejemplos" (que es un argumento estándar en matemáticas). Aquí hay otra razón, que es más bien filosófica (o heurística), debido a la demostración del Teorema de Convergencia Acotada mediante el Teorema de Egorov:

Para acotar la integral de una función, necesitamos acotar o bien la medida del dominio de la integral, o bien la propia función. Utilizando el Teorema de Egorov podemos asegurar la existencia de un subconjunto medible $F$ del dominio en el que tenemos convergencia uniforme cuyo complemento puede tener una medida arbitrariamente pequeña. En $F$ podemos limitar $|f_n-f|$ precisamente porque allí tenemos una convergencia uniforme. Sin embargo, si no tenemos un límite uniforme en $\{|f_n|\}_n$ y, por tanto, en $\{|f_n-f|\}_n$ , $|f_n-f|$ puede crecer de tal manera que anule la pequeñez de la medida de $F^c$ . Esto sería un problema, ya que aunque podemos hacer la medida de $F^c$ arbitrariamente pequeño, es posible que no podamos hacer que sea cero (por ejemplo, véase este puesto ).