Encontrar un ejemplo acerca de la conexión.

Question

Deje $I=[0,1]$ $I\times I$ ser un subespacio de $\Bbb R^2$.
Encontrar un ejemplo que cumplen las siguientes condiciones:

• $A$ $B$ son subconjuntos de a $I\times I$.
• $A$ $B$ están conectados.
• $(0,0), (1,1)\in A$ $(0,1), (1,0)\in B$ .
• $A \cap B=\varnothing$.

Answer 1

El ejemplo estándar de un conjunto que está conectado pero no de ruta de acceso conectado es $(x, \sin(1/x))$ $0 < x < 1$ junto con una segunda pieza como $(0,y), -1 \le y \le 1.$ puede utilizar para resolver el problema. Set $A$ a ser la unión de dos curvas de seno $\sin(1/x)$ girado $90$ grados junto con un punto extra. En más detalle, $(x, \sin(1/x))$ $0 < x \le 1$ tiene una "cola" a $(1, \sin(1))$ y se aproxima a una "pared" a $(0, y), -1 \le y \le y$. Gire esta curva por lo que su cola es en $(0,0)$ y su pared es el de la línea de $(1,0)$ $(0,1).$Hacer una segunda copia cuya cola está en $(1,1)$ y cuya pared es de nuevo la línea de$(1,0)$$(0,1)$, pero viniendo desde el otro lado. Su unión no está conectado sin la adición de un pedazo de pared común, por lo que añadir en el punto de $(1/2, 1/2)$. La unión de estos tres piezas está conectado. Tome $B$ todo lo demás: $B = I \times I - A$.

Para mostrar que $B$ está conectado, deje $L$ ser la pared, la línea de$(0,1)$$(1,0)$. Puntos en $I\times I - L$ que están por debajo y a la derecha (BR) de las curvas de seno puede ser conectado con una ruta de acceso. Y lo mismo para los puntos de arriba y a la izquierda (UL). Así que si hay una desconexión de $B$$ U \cup V$, entonces uno de ellos (decir $U$) contiene BR, y $V$ contiene UL. ¿Qué acerca de un punto de $p \in L - (1/2,1/2)$? Debe ser en cualquiera de las $U$ o $V$, pero en cada barrio de $p$ contiene puntos de BR y UL,y por tanto contiene puntos de a$U$$V$, contradiciendo $U \cap V = \emptyset$

Answer 2

David Goldberg fue sin duda a lo largo de la pista de la derecha. Podemos completar la idea de la siguiente manera. (Edit: la primera respuesta que me dieron fue escrito en lenguaje intuitivo, con la idea de que la formal matemático de los datos de rutina para rellenar. Después de leer un comentario más abajo, he decidido volver a escribir completamente la respuesta, así como para dar una imagen más formal, descripción precisa.)

Definir un conjunto conectado a $P = P_1 \cup P_2 \cup P_3 \cup P_4 \cup P_5$ donde

$$P_1 = \{(x, \sin(1/x): 0 < x \leq 1\}$$

$$P_2 = \{(t + 2(1-t), t\sin(1)): 0 \leq t \leq 1\}$$

$$P_3 = \{(0, 0)\}$$

$$P_4 = \{(x, \sin(1/x): -1 \leq x < 0\}$$

$$P_5 = \{(-t - 2(1-t), t\sin(-1)): 0 \leq t \leq 1\}.$$

Aquí $P_1$ $P_4$ son de la mano derecha y la mano izquierda en las ramas de un topologists' curva sinusoidal, $P_2$ $P_5$ son segmentos de línea que conectan estas ramas a los puntos de $(2, 0)$ $(-2, 0)$ respectivamente, y $P_3$ es sólo un punto de acumulación a lo largo de la $y$-eje que nos tocan de modo que $P$ está conectado. La elección de $P_3 = \{(0, 0)\}$ es por lo tanto un poco arbitrario.

De un modo bastante similar, definir un conjunto conectado a $Q = Q_1 \cup Q_2 \cup Q_3 \cup Q_4 \cup Q_5$ donde

$$Q_1 = \{(x, \sin(1/x) + 1/4): 0 < x \leq 1\}$$

$$Q_2 = \{(t, t(\sin(1)+1/4) + 2(1-t)): 0 \leq t \leq 1\}$$

$$Q_3 = \{(0, 1/2)\}$$

$$Q_4 = \{(x, \sin(1/x) - 1/4): -1 \leq x < 0\}$$

$$Q_5 = \{(-t, t(\sin(-1)-1/4) - 2(1-t)): 0 \leq t \leq 1\}$$

Aquí $Q_1$ es a la derecha y una rama de la topologists' curva sinusoidal, pero traducido por $1/4$, que tiene la acumulación de puntos de $(0, t)$$-3/4 \leq t \leq 5/4$. Del mismo modo, $Q_4$ está a la izquierda de la rama traducido por $1/4$, que tiene la acumulación de puntos de $(0, t)$$-5/4 \leq t \leq 3/4$. Claramente el punto de $Q_3$ es un punto de acumulación de cada rama. Finalmente, $Q_2$ $Q_5$ son segmentos de línea que conectan estas ramas a los puntos de $(0, 2)$$(0, -2)$, respectivamente. El conjunto $Q$ está conectado por la misma razón, $P$ está conectado.

Los lectores pueden desear para dibujar una imagen. Es claro por la construcción que $P$ $Q$ no se cruzan (en particular, la topologist-sine-curva de ramas no se cruzan porque son verticales se traduce de cada uno de los otros).

Finalmente, se aplica un homeomorphism que asignar las cuatro puntas de diamante $(2, 0)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ y $(0, -2)$ a las cuatro esquinas de $I \times I$, y el mapa de $P \cup Q$ a $I \times I$. Por ejemplo, podemos aplicar primero una rotación que envía el diamante puntos a los cuatro puntos de $(\pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{2})$, seguido por la multiplicación escalar por $1/2\sqrt{2}$ mapa de los cuatro puntos de $(\pm 1/2, \pm 1/2)$, seguido por una traducción de $(x, y) \mapsto (x + 1/2, y + 1/2)$.