Esta respuesta consta de dos partes:
I: Si $R$ tiene una característica positiva $n$ entonces cualquier la progresión aritmética tiene una longitud máxima $n$ , ya que en
$$a,a+b,a+2b,\ldots,a+nb$$
debemos tener $(a+nb)-a=nb=0$ . Esto responde negativamente a las preguntas (1) y (2), ya que $\mathrm{char}(R)>0$ .
II: Si $\mathrm{char}(R)=0$ Supongamos que $R^\times$ es de generación finita (como en el enunciado original del problema). Afirmamos que el radical de Jacobson $J_R$ de $R$ desaparece, lo que se demuestra en una serie de lemas más adelante:
Lema 1: $R^\times + J_R = R^\times$ .
Prueba: Dejemos que $u \in R^\times$ y $j \in J_R$ . Si $u+j \notin R^\times$ entonces $u+j \in \mathfrak{m}$ para algún ideal máximo, de modo que $u \in \mathfrak{m}$ porque $j \in J_R \subset \mathfrak{m}$ . Esto contradice que $u \in R^\times$ para que $u+j \in R^\times$ . //
Lema 2: Si $R^\times$ está generada finitamente, entonces $J_R =(0)$ .
Prueba: En todo momento, identificamos $\mathbb{Z}$ con el subring de la característica de $R$ . Esta prueba procederá en dos casos, dependiendo de si $J_R$ contiene trascendentales no nulos (sobre $\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(R)$ ) elementos. En nuestro primer caso, toma $j \in J_R$ trascendental sobre $\mathbb{Q}$ entonces el lema 1 implica que $1+j\mathbb{Z}[j] \subset R^\times$ . Ahora, supongamos que $\{\pi_i(j)\}_{i=1}^m \subset 1 + j \mathbb{Z}[j]$ es un conjunto de polinomios irreducibles. Si $\{\pi_i(j)\}_{i=1}^m$ no es independiente (como conjunto multiplicativo), entonces existen enteros $a_i,b_i \geq 0$ tal que
$$\prod \pi_i^{a_i} = \prod \pi_i^{b_i},$$
en ese momento el hecho de que $\mathbb{Z}[j]$ es un UFD implica que $a_i=b_i$ para todos $i$ . Así, $\{\pi_i(j)\}_{i=1}^m$ es un conjunto independiente, por lo que $R^\times$ tiene un rango de al menos $m$ . Por lo tanto, basta (para la contradicción en nuestro primer caso) con evocar infinitos polinomios irreducibles en $1+j\mathbb{Z}[j]$ y un ejemplo de ello son los polinomios ciclotómicos $\Phi_n(j)$ con $n>1$ (o los polinomios lineales).
Nuestro segundo caso es igual de complicado. Tome $j \in J_R$ algebraica; podemos suponer sin pérdida de generalidad que $j \in J_R$ es un número entero algebraico. El grupo abeliano (multiplicativo) $S \subset R^\times$ generado por $\{1+kj\}_{k \in \mathbb{Z}}$ tiene un rango finito, por la suposición de que $R^\times$ . La norma de campo $N: \mathbb{Q}(j) \to \mathbb{Q}$ se restringe a un homomorfismo $N:S \to \mathbb{Q}^\times$ y la imagen de este mapa tiene un rango finito. Sea
$$f(x):= N(1+xj) \in \mathbb{Z}[x].$$
La finitud del rango implica que el conjunto de divisores primos de $\{f(k) : k \in \mathbb{Z}\}$ es finito. Sin embargo, si $P:= \prod p_i$ representa el producto de estos primos, se deduce que $f(1+kP) \equiv 1 \mod P$ , por lo que nuestra hipótesis obliga a $f(1+kP) = \pm 1$ para todos los enteros $k$ . (Se trata de una extensión de la prueba de Euclides sobre la infinitud de los primos a una afirmación sobre los divisores primos de un polinomio). Esto da una contradicción, por lo que no hay tal $j \in J_R$ existe.
Por lo tanto, $J_R=(0)$ en cualquier caso. //
Ahora continuamos en serio:
Supongamos que $R^\times$ contiene la progresión aritmética infinita
$$S:=\{a,a+b,a+2b,\ldots,a+nb,\ldots\}$$
Afirmamos que $b$ no consigue generar ningún dominio de residuos determinado $R/\mathfrak{p}$ . Si no es así, arregla $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)$ tal que $b$ genera $R/\mathfrak{p}$ . Considere el mapa $\varphi: S \to R/\mathfrak{p}$ dado por $a+nb \mapsto (a+nb) \mod \mathfrak{p}$ . Este mapa se proyecta, por lo que existe $a+nb \in S$ tal que $a+nb \equiv 0 \mod \mathfrak{p}$ . Pero $a+nb$ es una unidad, lo cual es una contradicción.
Cuando $\mathfrak{p}$ es máxima, $R/\mathfrak{p} \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para algún primo racional $p$ . Dado que todos los elementos no nulos generan $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ Esto obliga a $b \in \mathfrak{p}$ para que $b \in J_R$ el radical de Jacobson de $R$ . Pero $J_R=(0)$ por el lema 2, de modo que $b = 0$ una contradicción. Para el caso $\mathrm{char}(R)=0$ se deduce que la afirmación de la pregunta (1) es universalmente falsa.
En este momento, no sé si la pregunta (2) puede responderse positivamente bajo cualquier hipótesis. Como mencioné en mi post original, la respuesta a (2) es "no" cuando $R$ es un campo numérico de grado $n$ con un límite superior explícito de la longitud dado por $\max(n,4)$ . Tal vez sea posible examinar los subcampos algebraicos de $R$ para llegar a una conclusión similar (aunque ligeramente más débil) en este escenario más general.
Descargo de responsabilidad: Parte del material anterior (el lema 2, en particular) procede de mi blog, Miscelánea de números enteros . En ese artículo considero un ideal que no es exactamente el radical de Jacobson (sin embargo, se comporta igual para estos propósitos), así que he mantenido esta demostración autocontenida para evitar confusiones.
