Cada infinito campo de contener un countably infinito subcampo?

Question

Cada infinito campo de contener un countably infinito subcampo?

Es fácil ver que cada campo $K$ contiene los números racionales $\Bbb P$ (cuando $K$ carácter $0$) o un campo finito $\Bbb F_p$ (cuando $K$ carácter $p$). Por lo tanto, en el carácter $0$ caso, la respuesta fácil es "sí".

Pero si $K$ es infinito y tiene la característica de $p>0$, ¿el hecho de que $K \supset \Bbb F_p$ nos permiten concluir que $K$ tiene un countably infinito subcampo?

Answer 1

Sí. Si $S$ es un countably infinito subconjunto de $K$ el subcampo generado por la $S$ es contable.

Dado que la pregunta consiguió seis upvotes antes de cualquier respuesta, tal vez esto no es obvio. Detalles:

Deje De $S_0=S$. Deje de $S_{n+1}$ constan de los elementos de $S_n$ junto con toda la $x+$ y, $x$ y, $xy$ y $x^{-1}$ para $x,y\in S_n$. Entonces $\bigcup_{n=0}^\infty S_n$ es una contables de subcampo.

(Sí, el mismo argumento muestra que $K$ tiene un subcampo de cualquier infinita de cardinalidad menor o igual a la cardinalidad de $K$.)

Answer 2

Como Ulrich señala, cualquier campo generado por una contables conjunto de elementos de $K$ será contables, pero esto no garantiza una adecuada subcampo, así que permítanme plantear una pregunta diferente: ¿cada infinito campo de contener adecuadamente una infinita subcampo? (Incluso me voy a tirar por la palabra contable.) Más de $\Bbb P$ es un trivial contraejemplo en el carácter $0$, así que vamos a considerar característica de $p$.

La respuesta a esa pregunta es no.

Sabemos lo finito extensiones de $\Bbb F_q$ $\Bbb F_{q^n}$ por productos naturales $n$, que son únicas para sus tamaños, con inclusiones de $\Bbb F_{q^d}\subseteq\Bbb F_{q^n}$ si y sólo si $d\mid$ n (es decir, $d$ es un divisor de $n$). Pero, ¿podemos caracterizar todas las extensiones algebraicas de $\Bbb F_q$? Sí: para ello necesitamos sobrenatural números para los exponentes.

Sobrenatural es un número de formal infinito producto $n=\prod_p p^e$ de primer poderes, sin restricciones a los exponentes, y de hecho $e=\infty$ es una exponente. La noción de divisibilidad sobrenaturales números debería ser obvio.

Definir $\Bbb F_{q^n}$ sobrenaturales $n$ $\bigcup_{d\mediados n}\Bbb F_{q^d}$ en $\overline{\Bbb F_{q}}$, donde $d$ rangos de todos finito, natural de número de divisores de $n$. Dado cualquier $K\subseteq\overline{\Bbb F_q}$, que se puede asociar a la sobrenatural número $n$, que es el MCM de todos finito $d$ que $\Bbb F_{q^d}\subseteq K$, o lo que es equivalente a $n=\prod p^{e(p)}$ donde $e(p)$ es máxima sujeta a $\Bbb F_{q^{p^e}}\subseteq K$ (o $e(p)=\infty$, si que es cierto para todos $e$).

Ejercicio: Probar que $K=\Bbb F_{q^n}$ donde $n$ es el sobrenatural número de asociados a $K$.

En efecto, el entramado de sobrenatural números ordenados por la divisibilidad es isomorfo a la celosía de extensiones algebraicas de $\Bbb F_q$ ordenado por inclusión. El isomorfismo es de $n\mapsto \Bbb F_{q^n}$.

En particular, esto significa que para cualquier prime $\ell$, el infinito campo $\Bbb F_{q^{\ell^\infty}}$ no contener adecuadamente cualquier infinita subcampos. Contraste con $\overline{\Bbb F_q}$, que contiene infinito subcampos $\Bbb F_{p^n}$, precisamente cuando $n$ es un infinito sobrenatural que propiamente se divide $\prod p^\infty$. (En particular adecuadamente contiene el mencionado infinito subcampos $\Bbb F_{q^{\ell^\infty}}$s!)

También hay algo de la teoría de Galois que pueden ser discutidos aquí. El teorema fundamental de la teoría de Galois en este contexto dice que las extensiones de Galois de $\Bbb F_q$ son de celosía anti-isomorfo a la celosía de cerrado subgrupos de la absoluta grupo de Galois ${\rm Gal}(\overline{\Bbb F_q}/\Bbb F_q)\cong\widehat{\Bbb Z}\cong\prod_p\Bbb Z_p$ con la profinite topología (nota $\Bbb Z_p$ es el grupo aditivo de $p$-ádico enteros, no debe confundirse con $\Bbb Z/p\Bbb Z$). El cerrado subgrupos, enumerados por seres sobrenaturales $n=\prod_p p^{e}$, son de la forma $\prod_p \Bbb Z_p/(p^e)$, donde $\Bbb Z_p/(p^e)\cong\Bbb Z/p^e\Bbb Z$ con $0\le e<\infty$ y $\Bbb Z_p/(p^e):=\Bbb Z_p$ cuando $e=\infty$ (lo cual tiene sentido porque $p^e\to0$ en $\Bbb Z_p$'s de la topología como $e\to\infty$).

Answer 3

Supongamos que $K$ carácter $p$.

Si $K$ tiene un elemento trascendental $\alpha$, entonces $\mathbf{F}_p(\alpha) \subseteq K$ es countably infinito, de ser isomorfo a la función racional campo $\mathbf{F}_p(x)$.

De lo contrario, $K \subseteq \overline{\mathbf{F}}_p$, que es contable, por lo que sólo puede tomar $K$ a sí mismo en el countably infinito de subcampo.