Cómo probar que $\log(x)<x$ al $x>1$?

Question

Es muy básico, pero estoy teniendo problemas para encontrar una manera de demostrar esta desigualdad

$\log(x)<x$

al $x>1$

($\log(x)$ es el logaritmo natural)

Puedo pensar en los dos gráficos, pero no puedo encontrar otra manera de demostrarlo, y, además de eso, no entiendo por qué si no si $x<1$

Alguien me puede ayudar?

Gracias en avice

Answer 1

Pensé que podría ser instructivo para presentar una prueba que se basa en las herramientas estándar solamente. Hemos de ser con el límite de la definición de la función exponencial

$$e^x=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac xn\right)^n$$

Es fácil mostrar que la secuencia de $e_n(x)=\left(1+\frac xn\right)^n$ aumenta monótonamente para $x>-1$. Para mostrar esto, nosotros simplemente analizar la relación de

$$\begin{align} \frac{e_{n+1}(x)}{e_n(x)}&=\frac{\left(1+\frac x{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac xn\right)^n}\\\\ &=\left(1+\frac{-x}{(n+x)(n+1)}\right)^{n+1}\left(1+\frac xn\right) \tag 1\\\\ &\ge \left(1+\frac{-x}{n+x}\right)\left(1+\frac xn\right)\tag 2\\\\ &=1 \end{align}$$

donde ir de $(1)$ $(2)$hemos utilizado la Desigualdad de Bernoulli. Tenga en cuenta que $(2)$ es válido siempre $n>-x$ o $x>-n$.

Desde $e_n(x)$ aumenta monótonamente y está limitada anteriormente por $e^x$, luego

$$e^x\ge \left(1+\frac xn\right)^n \tag 3$$

para todos los $n\ge 1$. Y por lo tanto, para $x>-1$ hemos

$$e^x\ge 1+x \tag 4$$

Tomando el logaritmo de ambos lados de $(4)$ produce el codiciado premio de la desigualdad

$$\log(1+x)\le x \tag 5$$

Curiosamente, la configuración de $x=-z/(z+1)$ a $(4)$ revela

$$\log(1+z)\ge \frac{z}{z+1}$$

para $z>-1$. Poniendo todo esto junto con que contamos para $x>0$

$$\frac{x-1}{x}\le \log x\le x-1<x$$

Answer 2

Usted sólo puede diferenciar $$ f(x):=\log x-x, \quad x\geq1, $$ dando $$ f'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}x<0 \quad \text{para}\quad x>1 $$ desde $$ f(1)=-1<0 $$ and $f$ es estrictamente decreciente, entonces $$ f(x)<0, \quad x>1, $$ que es $$ \log x -x <0, \quad x>1. $$

Answer 3

Estoy asumiendo que usted sabe que la derivada de $\log$.

Deje $f(x) = \log x -x$. Entonces

$$f'(x) = \frac 1x -1 <1 \ \ \forall x>1.$$

Por otra parte, $f(1) = -1 <0$. Así, tenemos una función que se inicia negativo en $x=-1$, y disminuye después, ya que su derivada es siempre negativo. Esto significa que

$$f(x) = \log(x) - x <0\ \ \forall x>1,$$

que es lo que quería mostrar.

Answer 4

Usted puede incluso tener $\;\log x \le x-1$, debido a $\log$ es una cóncava de la función, y en la línea con la ecuación de $y=x-1$ es el tangent a la gráfica de $\log$$(1,0)$. Por lo tanto: $$\log x \le x-1 <x. $$

Answer 5

Definir $f(x) = \log x - x$. Ahora $f'(x) = \frac{1}{x}-1$ que es negativo si $x > 1$. Por lo tanto $f$ es estrictamente decreciente en el intervalo de $(1, \infty)$.

Ahora desde $f(1) = \log 1 - 1 = 0-1 = -1$, debemos tener $f(x) < -1$$(1, \infty)$. Por lo tanto $\log x - x < -1 < 0$$(1, \infty)$. Esto implica $\log x < x$ al $x > 1$.