Encontrar el valor máximo de $ab+ac+ad+bc+bd+3cd$

Question

Si $a,b,c,d>0$ satisfacer la condición de ${ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 }=1$, de encontrar el máximo valor de $ab+ac+ad+bc+bd+3cd$.

No estoy de progreso en este problema de la desigualdad. Por favor, ayudar.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: considerar que los valores propios de la matriz simétrica $$ M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} $$ se $-3,-1,2+\sqrt{5}$$2-\sqrt{5}$. En particular, $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}-1}{2},1,1\right)^T$ en el único vector propio de a $M$ con un resultado positivo de coordenadas, y se asocia con el mayor autovalor $2+\sqrt{5}$. De ello se sigue que:

$$ \max_{\substack{a^2+b^2+c^2+d^2=1 \\ a,b,c,d>0}} \frac{1}{2}(a\, b\, c\, d)\, M\, (a\, b\, c\, d)^T = \frac{2+\sqrt{5}}{2} = \color{red}{1+\frac{\sqrt{5}}{2}}. $$

Tal es el máximo alcanzado por $(a,b,c,d)=(x,x,y,y)$$x=\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{5}}}$$y=\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{5}}}$.

Answer 2

Deje $ab+ac+ad+bc+bd+3cd=k$. Por lo tanto, $k>0$ $ab+ac+ad+bc+bd+3cd=k(a^2+b^2+c^2+d^2)$ o $ka^2-(b+c+d)a+k(b^2+c^2+d^2)-bc-bd-3cd=0$. Por lo tanto, $(b+c+d)^2-4k(k(b^2+c^2+d^2)-bc-bd-3cd)\geq0$ o $(4k^2-1)b^2-2(2k+1)(c+d)b+(4k^2-1)(c^2+d^2)-2(6k+1)cd\leq0$. Si $0<k\leq\frac{1}{2}$, por lo que la última desigualdad es obviamente cierto. Deje $k>\frac{1}{2}$. Por lo tanto, $(2k+1)^2(c+d)^2-(4k^2-1)\left((4k^2-1)(c^2+d^2)-2(6k+1)cd\right)\geq0$ o $(2k+1)(c+d)^2-(2k-1)\left((4k^2-1)(c^2+d^2)-2(6k+1)cd\right)\geq0$ o $(2k^2-k-1)c^2-(6k-1)cd+(2k^2-k-1)d^2\leq0$. Si $\frac{1}{2}<k\leq1$, por lo que la última desigualdad es obviamente cierto. Deje $k>1$. Por lo tanto, $(6k-1)^2-4(2k^2-k-1)^2\geq0$, lo que da $k\leq1+\frac{\sqrt5}{2}$. Fácil ver que para $k=1+\frac{\sqrt5}{2}$ la igualdad se produce de hecho. Id est, la respuesta es $1+\frac{\sqrt5}{2}$.