Relación entre la continuidad uniforme y la convergencia uniforme

Question

¿Existe una relación entre la continuidad uniforme y la convergencia uniforme? Por ejemplo, supongamos que $\{f_{n}\}$ es una secuencia de funciones cada una de las cuales es uniformemente continua en $[a, b]$ . Entonces, ¿se deduce que $f_{n}$ converge a $f$ uniformemente en $[a, b]$ ? (¿Tal vez con algunas condiciones adicionales?)

Answer 1

No, por ejemplo cada $f_n$ puede ser igual a una constante $c_n$ pero tal que la secuencia de números reales $\{c_n\}$ no es convergente. Incluso si $\{f_n\}$ converge puntualmente, no es suficiente (tomar $f_n(x)=x^n$ en $[0,1]$ ).

Sin embargo, es cierto que un límite uniforme de $I$ de funciones uniformemente continuas sobre $I$ es uniformemente continua en $I$ . Para verlo, utilice un $3\varepsilon$ -argumento: tomar un número entero tal que la distancia uniforme entre $f$ y $f_n$ es $\leq\varepsilon$ y utilizar la continuidad uniforme de $f_n$ en $I$ para obtener el resultado.

También hay casos en los que la convergencia puede ser uniforme, como en el contexto del teorema de Dini, por ejemplo.

Answer 2

El mero hecho de que todas las funciones de una secuencia sean uniformemente continuas puede ser imposible de demostrar cualquier tipo de convergencia. Tomemos por ejemplo $f_n(x)=n$ (funciones constantes).

Answer 3

Es cierto que un límite uniforme sobre de uniformemente continua sobre es uniformemente continua en . Para ver esto, utilice un argumento - argumento: tome un número entero tal que la distancia uniforme entre y es , y utilizar la continuidad uniforme de para obtener el resultado.