En primer lugar, hay que tener en cuenta que $$ \psi_a(\vec{r}_{1}) \, \psi_b(\vec{r}_{2}) \neq \psi_a(\vec{r}_{2}) \, \psi_b(\vec{r}_{1}) \, , $$ ya que las mismas funciones en estos productos ( $\psi_a$ y $\psi_b$ ) tienen diferentes argumentos ( $\vec{r}_{1}$ y $\vec{r}_{2}$ ) a la izquierda y a la derecha del signo de desigualdad.
Ahora, a la pregunta, por qué tenemos una combinación lineal. Para un sistema de dos partículas indistinguibles (digamos, electrones) el requisito obvio es que no debe haber ninguna diferencia observable entre el sistema en estado $\psi(1, 2)$ y el sistema en estado $\psi(2, 1)$ , \begin{equation} |\psi(1, 2)|^{2} = |\psi(2, 1)|^{2} \, , \end{equation} donde $1$ y $2$ representan las coordenadas de las partículas. Esto implica que \begin{equation*} \psi(1, 2) = \pm \psi(2, 1) \, . \end{equation*}
Y para satisfacer esta igualdad en lo que se suele llamar la aproximación orbital donde el estado de un sistema de muchos electrones $\psi$ se representa como un producto de estados de una sola partícula $\psi_i$ la función de onda $\psi(1, 2)$ debería escribirse en realidad no sólo como un producto de $\psi_1$ y $\psi_2$ (ninguno de los cuales, ni $\psi_1(1) \psi_2(2)$ ni $\psi_2(1) \psi_1(2)$ es simétrico o antisimétrico), sino como la siguiente combinación lineal de estos productos, \begin{equation*} \psi(1, 2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Big( \psi_1(1) \psi_2(2) \pm \psi_1(2) \psi_2(1) \Big) \, , \end{equation*} donde $1 / \sqrt{2}$ es el factor de normalización.
La elección del signo en las expresiones anteriores no es arbitraria, sino que viene determinada por el espín de las partículas $s$ a saber, \begin{equation*} \psi(1, 2) = (-1)^{2s} \psi(2, 1). \end{equation*} Partículas con giros enteros , llamado bosones (fotones, partículas alfa), se describen mediante un simétrico función de onda \begin{equation*} \psi_{\mathrm{s}}(1, 2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Big( \psi_1(1) \psi_2(2) + \psi_1(2) \psi_2(1) \Big) \, , \end{equation*} mientras que las partículas con giros medio enteros , llamado fermiones (electrones, protones, neutrones), se describen mediante la antisimétrico función de onda \begin{equation*} \psi_{\mathrm{a}}(1, 2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Big( \psi_1(1) \psi_2(2) - \psi_1(2) \psi_2(1) \Big) \, . \end{equation*}
