Generalizada de la matriz de rotación en N dimensiones del espacio en torno a la N-2 de la unidad de vector

Question

Hay un 2d matriz de rotación alrededor del punto de $(0, 0)$ con ángulo de $\theta$.

$$ \left[ \begin{array}{ccc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array} \right] $$

Después, hay un 3d de la matriz de rotación alrededor del punto de $(0, 0, 0)$ y de la unidad de eje $(u_x, u_y, u_z)$ con ángulo de $\theta$ (Rodrigues' Rotación de la Fórmula).

\begin{bmatrix} \cos \theta +u_x^2 \left(1-\cos \theta\right) & u_x u_y \left(1-\cos \theta\right) - u_z \sin \theta & u_x u_z \left(1-\cos \theta\right) + u_y \sin \theta \\ u_y u_x \left(1-\cos \theta\right) + u_z \sin \theta & \cos \theta + u_y^2\left(1-\cos \theta\right) & u_y u_z \left(1-\cos \theta\right) - u_x \sin \theta \\ u_z u_x \left(1-\cos \theta\right) - u_y \sin \theta & u_z u_y \left(1-\cos \theta\right) + u_x \sin \theta & \cos \theta + u_z^2\left(1-\cos \theta\right) \end{bmatrix}

Cómo es posible generalizar matriz de rotación en $N$ dimensión alrededor del punto cero y de la $N-2$ dimensiones de la unidad de eje con un ángulo $\theta$?

Answer 1

La definición es que el $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ se llama rotación matriz de si existe una matriz unitaria $P$ s.t $P^{-1}AP$ es de la forma $$\begin{pmatrix}\cos(\theta) &-\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\\ & & 1\\ & & & 1\\ & & & & 1\\ & & & & & .\\ & & & & & & .\\ & & & & & & & .\\ & & & & & & & & 1 \end{pmatrix}$$ [por favor, que alguien edite este, tengo problemas con escribir las matrices]

Si tenemos en cuenta $A:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$, entonces el significado es que existe una base ortonormales donde giramos a la $2-$dimensiones el espacio generado por los dos primeros vectores angulares $\theta$ y solucionarlo el otro $n-2$ dimensiones