Deje $B$ denotar la bola unidad cerrada en $\mathbf{R}^n$. Brouwer del punto fijo teorema establece que cada mapa continuo $f:B\to B$ tiene un punto fijo. Hay una prueba simple utilizando el teorema de Stokes, al menos para el caso especial en que $f$ es suave, como se presenta en la Wikipedia aquí.
La página también afirma que en este caso contiene el pleno de la generalidad del teorema, porque si $f:B\to B$ es continua sin puntos fijos, a continuación,$\epsilon = \inf_{x\in B} |x-f(x)| > 0$, por lo que podemos convolución (cada componente de) $f$ con un suave golpe $\psi:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}$ apoyado en $\epsilon B$ para obtener una superficie lisa contraejemplo al teorema.
Por desgracia, tal y como está la prueba no funciona, debido a que la distancia de a $f(B)$ $\partial B$bien podría ser cero, en cuyo caso $\tilde{f} = \psi\ast f$ podría no satisfacer $\tilde{f}(B)\subset B$. ¿Alguien ve una solución a esta dificultad?
EDICIÓN, después de Willy respuesta. Simplemente me he dado cuenta de que yo estaba confundido cuando le hice esta pregunta. $\tilde{f}(B)\subset B$ nunca fue realmente un problema, la cuestión es más bien que de convolución no está completamente definido, cerca de la frontera. La más inmediata interpretación es extender $f:B\to B$$0$$\mathbf{R}^n\to B$, pero luego reblandecer $f$ no darle un uniforme cercanas $\tilde{f}$. La interpretación que funciona es extender $f:B\to B$ a cualquier uniformemente continua $F:\mathbf{R}^n\to B$, como
$$F(x) = \begin{cases} f(x) & \text{if $|x|\leq 1$,}\\ f(x/|x|) & \text{if $|x|\geq 1$,}\end{cases}$$
y, a continuación, apaciguar.
