Ejemplo concreto que Ilustra el Producto en el Interior de

Question

Deje $V$ ser finito-dimensional espacio vectorial, vamos a $v \in V$ y deje $\omega$ ser un alternando $k$-tensor en $V$, es decir, $\omega \in \Lambda^{k}(V)$. A continuación, el producto en el interior de $v$$w$, que se denota por a $i_{v}$, es una asignación $$ i_{v}:\Lambda^{k}(V)\rightarrow \Lambda^{k-1}(V) $$ determinado por

$$ (i_v \omega)(v_1, \dots, v_{k-1}) = \omega(v, v_1, \dots, v_{k-1}). $$

Mi entendimiento de este, que es, probablemente, lejos de ser completa, es que el producto en el interior, básicamente, proporciona un mecanismo para producir un $k-1$-tensor de una $k$ tensor relativo a algunos fijos vector $v$. Estoy tratando de comprender, sin embargo lo que el interior del producto que realmente significa y cómo se usa en la práctica. Por lo tanto, mi pregunta es, ¿alguien Puede proporcionar un ejemplo(s) que ilustra los cálculos y/o ejemplos físicos que arroje luz sobre su propósito?

Además, el interior del producto parece ser un poco (a la inversa?) relacionadas con el exterior del producto en el exterior del producto se lleva un $p$-tensor y un $q$ tensor y hace una $p+q$ tensor y por lo tanto es una "ampliación". El producto en el interior, por otro lado, es una contracción, pero siempre produce un tensor de grado uno menos que empezaste. Así, en segundo lugar, ¿Cuál es la relación precisa entre el interior y el exterior de productos?

Por desgracia, la Wikipedia página es de poco de ayuda aquí y no puedo encontrar una referencia que claramente explica estas cosas.

Answer 1

Permítanme darles otro ejemplo de cómo el interior y el exterior productos relacionados. Este caso en particular, sin embargo, no funciona en la geometría diferencial, pero requiere de la geometría de Riemann.

Dada una métrica $g$, denotan por $\langle,\rangle$ la extensión de su interior (no interior) producto a los formularios. La métrica $g$ induce una identificación entre el espacio vectorial $V$ y su dual $V^*$, a través de los operadores de $v\mapsto v^\flat$, donde

$$ v^\flat(w) = \langle v,w\rangle $$

($v^\flat \in V^*$ es un funcional lineal en $V$, y aquí se definen por su acción sobre el $w\in V$)

Luego tenemos la bonita propiedad para $\eta\in\Lambda^{k-1}(V),\tau \in \Lambda^k(V)$, e $v\in V$ que

$$ \langle v^\flat \wedge \eta, \tau\rangle = \langle \eta,(i_v)\tau \rangle $$

mostrando cómo el interior y el exterior de los productos son en realidad adjunto con respecto a la métrica de producto interior.

Una declaración similar puede hacerse apelando a la Hodge estrellas operador asociado a una métrica de Riemann. Hasta un constante multiplicador $C$ (cuya forma depende un poco de sus convenciones, y que depende de la dimensión y el grado de las formas), usted tiene que

$$ (i_v)\tau = C *(x^\flat\wedge *\tau) $$

donde $*$ es la estrella de Hodge operador.

Answer 2

Aquí es una respuesta parcial a mi propia pregunta, específicamente la parte pidiendo un ejemplo concreto que ilustra aspectos computacionales del producto en el interior.

Deje que el espacio vectorial en cuestión se $\mathbb{R}^3$ dotado de la orden de bases $(e_1, e_2, e_3)$ y deje $e^1, e^2, e^3$ ser la relativa cobasis. Aquí, podemos pensar que la cobasis como ordinarios, los vectores que satisfacen $e^i(e_j) = \delta^i_j$ o los consideran como funcionales lineales en el espacio dual $(\mathbb{R}^n)^*$ que satisfacen las mismas relaciones.

Ahora, supongamos $\omega \in \Lambda^{2}(\mathbb{R}^3)$ está dado por $\omega = e^1 \wedge e^2$ y deje $v = e_1$. Entonces, para cualquier vector $x \in \mathbb{R}^3$ entonces podemos calcular el producto en el interior de la siguiente manera:

$$ (i_v \omega)(x) = (e^1 \wedge e^2)(e_1, x) = e^1(e_1)e^2(x) - e^1(x)e^2(e_1) = e^2(x) $$

Por lo tanto, $i_v \omega = e^2$

Siguiente, mantener el mismo $\omega$ pero vamos a $v = e_2$. A continuación,

$$ (i_v \omega)(x) = (e^1 \wedge e^2)(e_2, x) = e^1(e_2)e^2(x) - e^1(x)e^2(e_2) = -e^1(x) $$

Por lo $i_v \omega = -e^1$

Por último, también es fácil ver por la inspección, que si $v =e_3$ $i_v \omega = 0$

Los cálculos para otros valores de $\omega$ procederá de manera similar.

Answer 3

No creo que este va a satisfacer completamente a sus preguntas, pero creo que el producto en el interior es una buena manera de inducir orientaciones. Para dar una orientación en un $n$-colector con límite de $M$ es lo mismo que dar un lugar que se desvanece $n$forma $\Omega$. Si $H \subset M$ es una hipersuperficie y $N$ es una transversal de campo vectorial a lo largo de $H$ (por lo $N\colon H \to TM$, de tal manera que $N_x \in T_xM$$T_xM = N_x + T_xH$$x \in H$), $i_N\Omega$ restringe a una orientación de la forma en $H$. Si $H = \partial M$, y luego tomar las $N$ a ser hacia el exterior, que apunta a campo vectorial a lo largo de $\partial M$ da la orientación usual utilizado en el teorema de Stokes.

No tengo mi copia conmigo, pero mucho de esto se debe en Lee la Introducción a la Suave Colectores.

Answer 4

Mentira derivados, por supuesto! Incluso se menciona en el producto en el interior de la página de la wiki. Como para la relación con el exterior del producto, la OMI debería mirar más en el exterior derivado de la comparación.

Pero si usted insiste, por cualquier $1$forma $\alpha$ $k$forma $\omega$ y cualquier vector $x$ tenemos $i_x (\alpha \wedge \omega) = \alpha(x) \omega$.

UPD: puramente algebraica punto de vista, es útil considerar Mentira coalgebra estructura en $V^*$: un mapeo lineal $\mathrm{d}: V^* \to \bigwedge^2 V^*$ extendido a una gradual anti-derivación. Es fácil ver que la definición de $\omega([x, y]) = \mathrm{d}\omega(x, y)$ tenemos Mentira álgebra estructura en $V$.

Así, las cosas interesantes que deben surgir cuando ampliamos algunos $f: \bigwedge^2 V^* \to V^*$ a un gradual antiderivation, ¿verdad? Bueno, yo no puedo responder a esa pregunta, pero estoy bastante seguro de que fue la motivación :)

Answer 5

Esta no es una respuesta, pero sin duda debe ser relevantes para esta discusión. Andrew McInerney excelente nuevo libro "Primeros Pasos en la Geometría Diferencial", describe el producto en el interior de un (s, k) tensor de campo (siempre alternando según el libro de convenciones) en las páginas 169 - 171.

Él da 2 ejemplos: 4.6.17 y 4.6.18

Si uno entiende como el resultado de la siguiente manera en 4.6.18 que "el lector puede comprobar" por favor, me informen.