Es allí cualquier manera de definir las operaciones aritméticas de multiplicación como otra cosa que la suma repetida?

Question

Es allí cualquier manera de definir las operaciones aritméticas de multiplicación como otra cosa que la suma repetida? Por ejemplo, ¿cómo podría usted definir $a\cdot b$ como otra cosa que $\underbrace{a+un+\cdots+a}_{b \text{-veces}}$ o $\underbrace{b+b+\cdots+b}_{\text{-veces}}$?

Answer 1

Dados dos conjuntos de $A$ y $B$ de cardinalidad $a$ y $b$, respectivamente, la cardinalidad del producto cartesiano $A\times B$ se llama el producto de $a$ y $b$, y se denota por $a\cdot b$.

Actualización

Cuando escribí esta respuesta no me han conjuntos infinitos en mente. Sólo quería transmitir una imagen mental de la multiplicación que no implica la adición repetida.

Answer 2

$a\cdot b$ es el valor de $f_a(b)$, donde $f_a$ es el único endomorfismo de $\mathbb N$ (en virtud de la adición) la satisfacción de $f_a(1)=un$.

Answer 3

Aquí hay una respuesta que requiere una $x$ y $y$ eje. Supongamos que queremos multiplicar $A$ y $B$. Luego, localizar el punto $(1,A)$ y hacer que la línea determinada por $(0,0)$ y $(1)$. A continuación, busque el punto $(B,0)$, y dibujar la línea vertical que pasa por este punto. A continuación, encontrar la intersección de la vertical de la línea de formado y la línea formada por la conexión al origen y $(1)$. Usted obtiene un punto, $(B,C)$, y el punto $C$ es igual a $AB$.

Lo que me gusta de esta definición es que se trabaja con los números reales, el hecho de que es la Euclídea en el espíritu, y que deja claro que la multiplicación es (de)de la ampliación.

Answer 4

Podemos definir a $\mathbb{N}$ como el inicial semiring. En este enfoque, no sólo no tenemos para definir la multiplicación como adición repetida, pero, de hecho, no tenemos que definir la multiplicación en todos.

:)

Answer 5

Si quieres una definición de la operación usual de multiplicación que no se reducen a la suma repetida, siempre se puede definir axiomáticamente la misma manera que nos enseñaron:

1. Si $a, b$ son entre 0 y 9, $a\cdot b$ es dado por la tabla de multiplicación.
2. De lo contrario, la operación se define de forma recursiva mediante la especificación de las reglas de dígito por dígito multiplicación, llevar y positivo/negativo de la señal. [No veo el punto de que en realidad la formulación de las definiciones aquí; yo confío en usted consigue la idea.]

Esto no sería particularmente interesantes, ya que las reglas aparecen completamente arbitraria; pero es bien definido y constructivo. Es, después de todo, el sistema que hemos aprendido e interiorizado como los niños.