¿Qué problemas cúbicos se plantearon Tartaglia y Fior?

Question

He estado investigando la historia de la búsqueda de raíces de polinomios generales y la historia de la resolución de las raíces de polinomios cúbicos ( $ax^3+bx^2+cx+d=0$ ) me llevaron a encontrar varias fuentes que describen un "duelo matemático" entre los matemáticos italianos Tartaglia (Nicolo de Brescia) y Antonio Fior del siglo XVI d.C..

Muchas fuentes, como éste y éste todos hablan de que Tartaglia y Fior se plantearon mutuamente 30 problemas antes de competir en un concurso público de matemáticas y de cómo Tartaglia fue capaz de encontrar una solución general a cada uno de los problemas de Fior justo antes del concurso.

Mi pregunta, que también podría ser apropiada para el SE de Historia de las Matemáticas (en fase de Compromiso del Área 51 ahora mismo) es:

¿Cuáles fueron los 30 problemas que Fior planteó a Tartaglia y cuáles son los 30 problemas que Tartaglia planteó a Fior? Personalmente estoy interesado en verlos e intentar resolverlos basándome en lo que he aprendido recientemente sobre los polinomios cúbicos. Creo que los 60 problemas colectivos no sólo tienen interés histórico en sí mismos, sino que también deben de haber sido diseñados con el suficiente desafío como para que cada uno intentara dejar perplejo al otro. Creo que esos 60 problemas en particular serían mucho más instructivos en su solución que un simple surtido arbitrario de problemas de polinomios cúbicos dados en hojas de trabajo a través de Internet y libros de matemáticas particulares.

¡Cualquier información sobre dónde encontrar estos 60 problemas o una lista parcial de ellos es muy apreciada!

Answer 1

Aunque estos problemas tienen un gran valor histórico, no estoy seguro de que sean realmente tan buenos como problemas . No es tan fácil dar un escenario natural en el que haya que resolver una ecuación cúbica para resolver un problema, por lo que necesariamente resultarán algo artificiosos. (Incluso los ejemplos "prácticos" de al-Khwarizmi de cuadrático ecuaciones lo sufren).

De todos modos, seis de los problemas de Fiore se reimprimen en Historia de las matemáticas: Un lector por John Fauvel y Jeremy Gray. El libro de Tartaglia Quesiti et Inventioni Diverse de 1546 se da como referencia, pero no dicen si se pueden encontrar más problemas allí.

( Editar : El libro de Tartaglia puede encontrarse aquí ¡y la lista de Fiore comienza en la hoja 114r! No parece que se incluyan los problemas de Tartaglia)

Problemas de Fiore 1,2,3,15,17,30:

• Encuéntrame un número tal que al sumarle su raíz cúbica el resultado sea seis, es decir, 6.
• Encuéntrame dos números en doble proporción [ $x$ y $2x$ ] tal que cuando el cuadrado del número mayor se multiplica por el menor, y este producto se suma a los dos números originales, el resultado es cuarenta, es decir 40.
• Encuéntrame un número tal que al elevarlo al cubo, y sumar dicho número al cubo, el resultado sea cinco.
• Un hombre vende un zafiro por 500 ducados, obteniendo un beneficio de la raíz cúbica de su capital. ¿A cuánto asciende este beneficio?
• Hay un árbol, de 12 braccias de altura, que fue partido en dos partes en un punto tal que la altura de la parte que quedó en pie era la raíz cúbica de la longitud de la parte que fue cortada. ¿Cuál era la altura de la parte que quedó en pie?
• Hay dos cuerpos de 20 caras triangulares [icosaedros] cuyas áreas corpóreas sumadas hacen 700 braccias, y el área del menor es la raíz cúbica del mayor. ¿Cuál es el área menor?

Fauvel y Gray también tienen una sección con siete problemas junto con discusiones del debate entre Tartaglia y Ferrari en 1547. Todos los problemas están planteados por Ferrari, y muestran mucha más variedad que los de Fiore. Parece ser que Ferrari publicó un relato de estos dos debates, que ha sido reimpreso por Arnaldo Masotti en 1974 ( Signos de desafío matemático ).

( Editar : Este libro se puede encontrar aquí .)

Las relacionadas con las ecuaciones cúbicas (15, 21, 23) son:

• Encuéntrame dos números tales que al sumarlos sumen tanto como el cubo del menor sumado al producto de su triple por el cuadrado del mayor; y el cubo del mayor sumado a su triple por el cuadrado del menor sume 64 más que la suma de estos dos números.
• Encuéntrame seis cantidades en proporción continua empezando por uno, tales que el doble del segundo con el triple del tercero sea igual a la raíz del sexto.
• Existe un cubo tal que sus caras y sus superficies sumadas son iguales a la cantidad proporcional entre dicho cubo y una de sus caras. ¿Cuál es el tamaño del cubo?

Answer 2

Las quince primeras preguntas de Fior, un resumen de las quince restantes y cuatro preguntas de Tartaglia figuran en el artículo:

Martin Nordgaard, Reflexiones sobre la controversia Cardan-Tartaglia , 1937-8.

Aquí tienes algunas más de Fior:

• (5) Dos hombres eran socios, y entre los dos invirtieron un capital de 900 ducados, siendo el capital del primero la raíz cúbica del capital del segundo. ¿Cuál es la parte de cada uno?
• (7) Encuentra un número que sumado al doble de su raíz cúbica dé 13.
• (8) Halla un número que sumado tres veces su raíz cúbica dé 15.
• (9) Halla un número que sumado cuatro veces su raíz cúbica dé 17.
• (12) Un joyero compra un diamante y un rubí por 2000 ducados. El precio del rubí es la raíz cúbica del precio del diamante. Se pide el valor del rubí.
• (13) Un judío aporta capital con la condición de que al final del año tendrá como interés la raíz cúbica del capital. Al final del año el judío recibe 800 ducados, como capital e intereses. ¿Cuál es el capital?
• (14) Divide trece en dos partes tales que el producto de estas partes sea igual al cuadrado de la parte más pequeña multiplicado por lo mismo.

Éstos son los cuatro únicos de Tartaglia que Nordgaard conoce:

• Encuentra una cantidad irracional tal que al multiplicarla por su raíz cuadrada aumentada en 4, el resultado sea un número racional dado.
• Encuentra una cantidad irracional tal que al multiplicarla por su raíz cuadrada disminuida en 30, el resultado sea un número racional dado.
• Encuentra una cantidad irracional tal que al sumarle cuatro veces su raíz cúbica, el resultado sea trece.
• Encuentra una cantidad irracional tal que al restarle su raíz cúbica el resultado sea 10.